Theorem rpltrp 13316

Description: For all positive real numbers there is a smaller positive real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rpltrp	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem rpltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 12997	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
2		breq1 5141	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 = (𝑥 / 2)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
4		rphalflt 12999	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) < 𝑥)
5	1, 3, 4	rspcedvd 3606	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥)
6	5	rgen 3055	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ 𝑦 < 𝑥

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   < clt 11244   / cdiv 11867  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  infmrp1  13319