Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  remulcand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remulcand 42058
Description: Commuted version of remulcan2d 41903 without ax-mulcom 11202. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
remulcand.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
remulcand.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
remulcand.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
remulcand.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
remulcand (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem remulcand
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcand.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2 remulcand.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3 ax-rrecex 11210 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
41, 2, 3syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
51adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
65adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
7 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
8 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
96, 7, 8remulinvcom 42052 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1)
109ex 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1))
11 oveq2 7424 . . . . . . . 8 ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
12113ad2ant3 1132 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
13 simp2 1134 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1)
1413oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
15 simp1r 1195 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1615recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1753ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1817recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
19 simp1l 1194 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐œ‘)
20 remulcand.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2221recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2316, 18, 22mulassd 11267 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ด) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)))
24 remullid 42053 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2521, 24syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2614, 23, 253eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)) = ๐ด)
2713oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
28 remulcand.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2919, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3029recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3116, 18, 30mulassd 11267 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
32 remullid 42053 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
3427, 31, 333eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ต)
3512, 26, 343eqtr3d 2773 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โˆง (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด = ๐ต)
36353exp 1116 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1 โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต)))
3710, 36syld 47 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต)))
3837impr 453 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
394, 38rexlimddv 3151 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
40 oveq2 7424 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต))
4139, 40impbid1 224 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-2 12305  df-3 12306  df-resub 41986
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator