Theorem remulcand 42058

Description: Commuted version of remulcan2d 41903 without ax-mulcom 11202. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11210	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5	1	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
9	6, 7, 8	remulinvcom 42052	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
10	9	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → (𝑥 · 𝐶) = 1))
11		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
13		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
15		simp1r 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
20		remulcand.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	16, 18, 22	mulassd 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
24		remullid 42053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	14, 23, 25	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
27	13	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
28		remulcand.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
29	19, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	16, 18, 30	mulassd 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
32		remullid 42053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
34	27, 31, 33	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
35	12, 26, 34	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
36	35	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝐶) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
37	10, 36	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38	37	impr 453	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
39	4, 38	rexlimddv 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
41	39, 40	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-2 12305  df-3 12306  df-resub 41986

This theorem is referenced by: (None)