Theorem remulcand 43200

Description: Commuted version of remulcan2d 43024 without ax-mulcom 11159. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11167	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5	1	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
9	6, 7, 8	remulinvcom 43194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
10	9	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → (𝑥 · 𝐶) = 1))
11		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
13		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
15		simp1r 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
20		remulcand.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	16, 18, 22	mulassd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
24		remullid 43195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	14, 23, 25	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
27	13	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
28		remulcand.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
29	19, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	16, 18, 30	mulassd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
32		remullid 43195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	29, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
34	27, 31, 33	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
35	12, 26, 34	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
36	35	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝐶) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
37	10, 36	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38	37	impr 459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
39	4, 38	rexlimddv 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40		oveq2 7418	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
41	39, 40	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-2 12298  df-3 12299  df-resub 43127

This theorem is referenced by:  rediveud  43204