Theorem remulcand 42431

Description: Commuted version of remulcan2d 42256 without ax-mulcom 11201. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
9	6, 7, 8	remulinvcom 42425	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → (𝑥 · 𝐶) = 1))
11		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
13		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
15		simp1r 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		simp1l 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
20		remulcand.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	16, 18, 22	mulassd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
24		remullid 42426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	14, 23, 25	3eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
27	13	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
28		remulcand.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
29	19, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	16, 18, 30	mulassd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
32		remullid 42426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
34	27, 31, 33	3eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
35	12, 26, 34	3eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
36	35	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝐶) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
37	10, 36	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38	37	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
39	4, 38	rexlimddv 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40		oveq2 7421	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
41	39, 40	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138   · cmul 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-2 12311  df-3 12312  df-resub 42359

This theorem is referenced by: (None)