Theorem remulcand 42024

Description: Commuted version of remulcan2d 41869 without ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11218	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5	1	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
9	6, 7, 8	remulinvcom 42018	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
10	9	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → (𝑥 · 𝐶) = 1))
11		oveq2 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
13		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
15		simp1r 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
20		remulcand.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	16, 18, 22	mulassd 11275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
24		remullid 42019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	14, 23, 25	3eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
27	13	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
28		remulcand.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
29	19, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	16, 18, 30	mulassd 11275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
32		remullid 42019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
34	27, 31, 33	3eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
35	12, 26, 34	3eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
36	35	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝐶) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
37	10, 36	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38	37	impr 453	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
39	4, 38	rexlimddv 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40		oveq2 7434	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
41	39, 40	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-2 12313  df-3 12314  df-resub 41952

This theorem is referenced by: (None)