Theorem remulcand 43048

Description: Commuted version of remulcan2d 42872 without ax-mulcom 11137. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
remulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
remulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
remulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
remulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
remulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem remulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		remulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		ax-rrecex 11145	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5	1	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
9	6, 7, 8	remulinvcom 43042	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
10	9	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → (𝑥 · 𝐶) = 1))
11		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3ad2ant3 1148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
13		simp2 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
14	13	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
15		simp1r 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
17	5	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19		simp1l 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝜑)
20		remulcand.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	16, 18, 22	mulassd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
24		remullid 43043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
26	14, 23, 25	3eqtr3d 2805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
27	13	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
28		remulcand.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
29	19, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	16, 18, 30	mulassd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
32		remullid 43043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
34	27, 31, 33	3eqtr3d 2805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
35	12, 26, 34	3eqtr3d 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 · 𝐶) = 1 ∧ (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
36	35	3exp 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝐶) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
37	10, 36	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝑥) = 1 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38	37	impr 458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
39	4, 38	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
40		oveq2 7404	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
41	39, 40	impbid1 227	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 42975

This theorem is referenced by:  rediveud  43052