MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infi 9286
Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
infi (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem infi
StepHypRef Expression
1 inss1 4224 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
2 ssfi 9191 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
31, 2mpan2 690 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  cin 3944  wss 3945  Fincfn 8957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961
This theorem is referenced by:  rabfi  9287  resfnfinfin  9350  resfifsupp  9414  fin23lem22  10344  pmatcoe1fsupp  22596  trlsegvdeglem6  30028  mptiffisupp  32467  gsummptres  32760  indsumin  33635  eulerpartlemt  33985  ballotlemgun  34138  hgt750lemd  34274  fourierdlem50  45538  fourierdlem71  45559  fourierdlem76  45564  fourierdlem80  45568  fourierdlem103  45591  fourierdlem104  45592  sge0split  45791
  Copyright terms: Public domain W3C validator