Theorem infi 8726

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
infi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem infi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4155	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 8722	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  Fincfn 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  rabfi  8727  resfnfinfin  8788  resfifsupp  8845  fin23lem22  9738  pmatcoe1fsupp  21306  trlsegvdeglem6  28010  gsummptres  30737  indsumin  31391  eulerpartlemt  31739  ballotlemgun  31892  hgt750lemd  32029  fourierdlem50  42798  fourierdlem71  42819  fourierdlem76  42824  fourierdlem80  42828  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  sge0split  43048