Theorem infi 9240

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
infi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem infi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4182	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1o 8455  df-en 8953  df-fin 8956

This theorem is used by:  rabfi  9241  resfnfinfin  9304  resfifsupp  9367  fin23lem22  10329  pmatcoe1fsupp  22926  trlsegvdeglem6  30705  mptiffisupp  33165  indsumin  33307  gsummptres  33492  eulerpartlemt  34882  ballotlemgun  35036  hgt750lemd  35156  fourierdlem50  46984  fourierdlem71  47005  fourierdlem76  47010  fourierdlem80  47014  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  sge0split  47237