Theorem infi 9182

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
infi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem infi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4191	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  rabfi  9183  resfnfinfin  9249  resfifsupp  9312  fin23lem22  10249  pmatcoe1fsupp  22657  trlsegvdeglem6  30312  mptiffisupp  32782  indsumin  32953  gsummptres  33145  eulerpartlemt  34548  ballotlemgun  34702  hgt750lemd  34825  fourierdlem50  46511  fourierdlem71  46532  fourierdlem76  46537  fourierdlem80  46541  fourierdlem103  46564  fourierdlem104  46565  sge0split  46764