Theorem infi 9161

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
infi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem infi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4186	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  Fincfn 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7803  df-1o 8391  df-en 8876  df-fin 8879

This theorem is referenced by:  rabfi  9162  resfnfinfin  9228  resfifsupp  9288  fin23lem22  10225  pmatcoe1fsupp  22617  trlsegvdeglem6  30207  mptiffisupp  32678  indsumin  32850  gsummptres  33039  eulerpartlemt  34405  ballotlemgun  34559  hgt750lemd  34682  fourierdlem50  46279  fourierdlem71  46300  fourierdlem76  46305  fourierdlem80  46309  fourierdlem103  46332  fourierdlem104  46333  sge0split  46532