MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restuni2 21931
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restin.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
restuni2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝑋) = (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem restuni2
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
2 inss2 4130 . . 3 (𝐴𝑋) ⊆ 𝑋
3 restin.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
43restuni 21926 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴𝑋) ⊆ 𝑋) → (𝐴𝑋) = (𝐽t (𝐴𝑋)))
51, 2, 4sylancl 589 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝑋) = (𝐽t (𝐴𝑋)))
63restin 21930 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) = (𝐽t (𝐴𝑋)))
76unieqd 4820 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) = (𝐽t (𝐴𝑋)))
85, 7eqtr4d 2777 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝑋) = (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3852  wss 3853   cuni 4806  (class class class)co 7183  t crest 16810  Topctop 21657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-en 8569  df-fin 8572  df-fi 8961  df-rest 16812  df-topgen 16833  df-top 21658  df-topon 21675  df-bases 21710
This theorem is referenced by:  resttopon2  21932  1stcrest  22217  kgencmp2  22310
  Copyright terms: Public domain W3C validator