Theorem restuni2 23099

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restin.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐽 ∈ Top)
2		inss2 4232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑋) ⊆ 𝑋
3		restin.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	restuni 23094	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝑋) ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))
5	1, 2, 4	sylancl 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))
6	3	restin 23098	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))
7	6	unieqd 4925	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))
8	5, 7	eqtr4d 2771	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4912  (class class class)co 7426   ↾_t crest 17411  Topctop 22823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-en 8973  df-fin 8976  df-fi 9444  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877

This theorem is referenced by:  resttopon2  23100  1stcrest  23385  kgencmp2  23478