Theorem resttopon2 23090

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)))

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 22833	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		resttop 23082	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
3	1, 2	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
4		toponuni 22834	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	ineq2d 4206	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ ∪ 𝐽))
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ ∪ 𝐽))
7		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	restuni2 23089	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
9	1, 8	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
10	6, 9	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11		istopon 22832	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)) ↔ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
12	3, 10, 11	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3938  ∪ cuni 4903  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ↾_t crest 17401  Topctop 22813  TopOnctopon 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-en 8963  df-fin 8966  df-fi 9434  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867

This theorem is referenced by:  resstps  23109  lmss  23220