Theorem resttopon2 23399

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)))

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 23144	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		resttop 23391	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top)
4		toponuni 23145	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	4	ineq2d 4169	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ ∪ 𝐽))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = (𝐴 ∩ ∪ 𝐽))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7	restuni2 23398	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
9	1, 8	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
10	6, 9	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11		istopon 23143	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)) ↔ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝑋) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)))
12	3, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∩ 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↾_t crest 17511  Topctop 23124  TopOnctopon 23141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-en 8957  df-fin 8960  df-fi 9385  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177

This theorem is used by:  resstps  23418  lmss  23529