MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restuni 22441
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
restuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21toptopon 22194 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 resttopon 22440 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
42, 3sylanb 582 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
5 toponuni 22191 . 2 ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
64, 5syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3909  βˆͺ cuni 4864  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   β†Ύt crest 17238  Topctop 22170  TopOnctopon 22187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-en 8818  df-fin 8821  df-fi 9281  df-rest 17240  df-topgen 17261  df-top 22171  df-topon 22188  df-bases 22224
This theorem is referenced by:  restuni2  22446  restcld  22451  restopn2  22456  neitr  22459  restcls  22460  restntr  22461  rncmp  22675  cmpsublem  22678  cmpsub  22679  fiuncmp  22683  connsubclo  22703  connima  22704  conncn  22705  nllyrest  22765  cldllycmp  22774  lly1stc  22775  llycmpkgen2  22829  1stckgen  22833  txkgen  22931  xkopjcn  22935  xkococnlem  22938  cnextfres1  23347  cnextfres  23348  cncfcnvcn  24216  cnheibor  24246  evthicc  24751  psercn  25713  abelth  25728  zarmxt1  32241  connpconn  33609  cvmscld  33647  cvmsss2  33648  cvmliftmolem1  33655  cvmliftlem10  33668  cvmlift2lem9  33685  cvmlift2lem11  33687  cvmlift2lem12  33688  cvmlift3lem7  33699  ivthALT  34738  ptrest  36008  poimirlem29  36038  poimirlem30  36039  poimirlem31  36040  poimir  36042  cncfuni  43918  cncfiooicclem1  43925  stoweidlem28  44060  dirkercncflem4  44138  fourierdlem42  44181  restcls2lem  46736  iscnrm3rlem7  46770
  Copyright terms: Public domain W3C validator