Theorem restuni 23185

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22938	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 23184	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		toponuni 22935	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↾_t crest 17466  Topctop 22914  TopOnctopon 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968

This theorem is referenced by:  restuni2  23190  restcld  23195  restopn2  23200  neitr  23203  restcls  23204  restntr  23205  rncmp  23419  cmpsublem  23422  cmpsub  23423  fiuncmp  23427  connsubclo  23447  connima  23448  conncn  23449  nllyrest  23509  cldllycmp  23518  lly1stc  23519  llycmpkgen2  23573  1stckgen  23577  txkgen  23675  xkopjcn  23679  xkococnlem  23682  cnextfres1  24091  cnextfres  24092  cncfcnvcn  24965  cnheibor  25000  evthicc  25507  psercn  26484  abelth  26499  zarmxt1  33840  connpconn  35219  cvmscld  35257  cvmsss2  35258  cvmliftmolem1  35265  cvmliftlem10  35278  cvmlift2lem9  35295  cvmlift2lem11  35297  cvmlift2lem12  35298  cvmlift3lem7  35309  ivthALT  36317  ptrest  37605  poimirlem29  37635  poimirlem30  37636  poimirlem31  37637  poimir  37639  cncfuni  45841  cncfiooicclem1  45848  stoweidlem28  45983  dirkercncflem4  46061  fourierdlem42  46104  restcls2lem  48708  iscnrm3rlem7  48742