MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restuni 21686
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
restuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21toptopon 21441 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 resttopon 21685 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
42, 3sylanb 581 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5 toponuni 21438 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
64, 5syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940   cuni 4837  cfv 6352  (class class class)co 7148  t crest 16684  Topctop 21417  TopOnctopon 21434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fi 8864  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-top 21418  df-topon 21435  df-bases 21470
This theorem is referenced by:  restuni2  21691  restcld  21696  restopn2  21701  neitr  21704  restcls  21705  restntr  21706  rncmp  21920  cmpsublem  21923  cmpsub  21924  fiuncmp  21928  connsubclo  21948  connima  21949  conncn  21950  nllyrest  22010  cldllycmp  22019  lly1stc  22020  llycmpkgen2  22074  1stckgen  22078  txkgen  22176  xkopjcn  22180  xkococnlem  22183  cnextfres1  22592  cnextfres  22593  cncfcnvcn  23444  cnheibor  23474  evthicc  23975  psercn  24929  abelth  24944  connpconn  32366  cvmscld  32404  cvmsss2  32405  cvmliftmolem1  32412  cvmliftlem10  32425  cvmlift2lem9  32442  cvmlift2lem11  32444  cvmlift2lem12  32445  cvmlift3lem7  32456  ivthALT  33567  ptrest  34758  poimirlem29  34788  poimirlem30  34789  poimirlem31  34790  poimir  34792  cncfuni  42034  cncfiooicclem1  42041  stoweidlem28  42179  dirkercncflem4  42257  fourierdlem42  42300
  Copyright terms: Public domain W3C validator