Theorem restuni 23191

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22944	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 23190	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 580	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		toponuni 22941	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  restuni2  23196  restcld  23201  restopn2  23206  neitr  23209  restcls  23210  restntr  23211  rncmp  23425  cmpsublem  23428  cmpsub  23429  fiuncmp  23433  connsubclo  23453  connima  23454  conncn  23455  nllyrest  23515  cldllycmp  23524  lly1stc  23525  llycmpkgen2  23579  1stckgen  23583  txkgen  23681  xkopjcn  23685  xkococnlem  23688  cnextfres1  24097  cnextfres  24098  cncfcnvcn  24971  cnheibor  25006  evthicc  25513  psercn  26488  abelth  26503  zarmxt1  33826  connpconn  35203  cvmscld  35241  cvmsss2  35242  cvmliftmolem1  35249  cvmliftlem10  35262  cvmlift2lem9  35279  cvmlift2lem11  35281  cvmlift2lem12  35282  cvmlift3lem7  35293  ivthALT  36301  ptrest  37579  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimir  37613  cncfuni  45807  cncfiooicclem1  45814  stoweidlem28  45949  dirkercncflem4  46027  fourierdlem42  46070  restcls2lem  48592  iscnrm3rlem7  48626