Theorem restuni 23170

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22923	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 23169	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		toponuni 22920	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17465  Topctop 22899  TopOnctopon 22916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  restuni2  23175  restcld  23180  restopn2  23185  neitr  23188  restcls  23189  restntr  23190  rncmp  23404  cmpsublem  23407  cmpsub  23408  fiuncmp  23412  connsubclo  23432  connima  23433  conncn  23434  nllyrest  23494  cldllycmp  23503  lly1stc  23504  llycmpkgen2  23558  1stckgen  23562  txkgen  23660  xkopjcn  23664  xkococnlem  23667  cnextfres1  24076  cnextfres  24077  cncfcnvcn  24952  cnheibor  24987  evthicc  25494  psercn  26470  abelth  26485  zarmxt1  33879  connpconn  35240  cvmscld  35278  cvmsss2  35279  cvmliftmolem1  35286  cvmliftlem10  35299  cvmlift2lem9  35316  cvmlift2lem11  35318  cvmlift2lem12  35319  cvmlift3lem7  35330  ivthALT  36336  ptrest  37626  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  poimirlem31  37658  poimir  37660  cncfuni  45901  cncfiooicclem1  45908  stoweidlem28  46043  dirkercncflem4  46121  fourierdlem42  46164  restcls2lem  48810  iscnrm3rlem7  48843