Theorem restuni 21862

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 21617	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 21861	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		toponuni 21614	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858  ∪ cuni 4798  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↾_t crest 16752  Topctop 21593  TopOnctopon 21610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-en 8528  df-fin 8531  df-fi 8908  df-rest 16754  df-topgen 16775  df-top 21594  df-topon 21611  df-bases 21646

This theorem is referenced by:  restuni2  21867  restcld  21872  restopn2  21877  neitr  21880  restcls  21881  restntr  21882  rncmp  22096  cmpsublem  22099  cmpsub  22100  fiuncmp  22104  connsubclo  22124  connima  22125  conncn  22126  nllyrest  22186  cldllycmp  22195  lly1stc  22196  llycmpkgen2  22250  1stckgen  22254  txkgen  22352  xkopjcn  22356  xkococnlem  22359  cnextfres1  22768  cnextfres  22769  cncfcnvcn  23626  cnheibor  23656  evthicc  24159  psercn  25120  abelth  25135  zarmxt1  31351  connpconn  32713  cvmscld  32751  cvmsss2  32752  cvmliftmolem1  32759  cvmliftlem10  32772  cvmlift2lem9  32789  cvmlift2lem11  32791  cvmlift2lem12  32792  cvmlift3lem7  32803  ivthALT  34073  ptrest  35336  poimirlem29  35366  poimirlem30  35367  poimirlem31  35368  poimir  35370  cncfuni  42894  cncfiooicclem1  42901  stoweidlem28  43036  dirkercncflem4  43114  fourierdlem42  43157