Theorem restuni 22666

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22419	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 22665	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 582	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		toponuni 22416	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↾_t crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449

This theorem is referenced by:  restuni2  22671  restcld  22676  restopn2  22681  neitr  22684  restcls  22685  restntr  22686  rncmp  22900  cmpsublem  22903  cmpsub  22904  fiuncmp  22908  connsubclo  22928  connima  22929  conncn  22930  nllyrest  22990  cldllycmp  22999  lly1stc  23000  llycmpkgen2  23054  1stckgen  23058  txkgen  23156  xkopjcn  23160  xkococnlem  23163  cnextfres1  23572  cnextfres  23573  cncfcnvcn  24441  cnheibor  24471  evthicc  24976  psercn  25938  abelth  25953  zarmxt1  32860  connpconn  34226  cvmscld  34264  cvmsss2  34265  cvmliftmolem1  34272  cvmliftlem10  34285  cvmlift2lem9  34302  cvmlift2lem11  34304  cvmlift2lem12  34305  cvmlift3lem7  34316  ivthALT  35220  ptrest  36487  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  poimir  36521  cncfuni  44602  cncfiooicclem1  44609  stoweidlem28  44744  dirkercncflem4  44822  fourierdlem42  44865  restcls2lem  47545  iscnrm3rlem7  47579