Theorem restuni 22419

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restuni	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22172	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 22418	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		toponuni 22169	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4852  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ↾_t crest 17228  Topctop 22148  TopOnctopon 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-en 8805  df-fin 8808  df-fi 9268  df-rest 17230  df-topgen 17251  df-top 22149  df-topon 22166  df-bases 22202

This theorem is referenced by:  restuni2  22424  restcld  22429  restopn2  22434  neitr  22437  restcls  22438  restntr  22439  rncmp  22653  cmpsublem  22656  cmpsub  22657  fiuncmp  22661  connsubclo  22681  connima  22682  conncn  22683  nllyrest  22743  cldllycmp  22752  lly1stc  22753  llycmpkgen2  22807  1stckgen  22811  txkgen  22909  xkopjcn  22913  xkococnlem  22916  cnextfres1  23325  cnextfres  23326  cncfcnvcn  24194  cnheibor  24224  evthicc  24729  psercn  25691  abelth  25706  zarmxt1  32128  connpconn  33496  cvmscld  33534  cvmsss2  33535  cvmliftmolem1  33542  cvmliftlem10  33555  cvmlift2lem9  33572  cvmlift2lem11  33574  cvmlift2lem12  33575  cvmlift3lem7  33586  ivthALT  34620  ptrest  35889  poimirlem29  35919  poimirlem30  35920  poimirlem31  35921  poimir  35923  cncfuni  43771  cncfiooicclem1  43778  stoweidlem28  43913  dirkercncflem4  43991  fourierdlem42  44034  restcls2lem  46565  iscnrm3rlem7  46599