MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem1 15567
Description: Lemma for rpnnen2 15579. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 11640 . . . . 5 ℕ ∈ V
21elpw2 5234 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3 eleq2 2904 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛𝑥𝑛𝐴))
43ifbid 4472 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 5148 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 6977 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6759 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 238 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109fveq1d 6663 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11 eleq1 2903 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝐴𝑁𝐴))
12 oveq2 7157 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
1311, 12ifbieq1d 4473 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14 eqid 2824 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15 ovex 7182 . . . 4 ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16 c0ex 10633 . . . 4 0 ∈ V
1715, 16ifex 4498 . . 3 if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6759 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
1910, 18sylan9eq 2879 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  ifcif 4450  𝒫 cpw 4522  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   / cdiv 11295  cn 11634  3c3 11690  cexp 13434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-mulcl 10597  ax-i2m1 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  15569  rpnnen2lem4  15570  rpnnen2lem9  15575  rpnnen2lem10  15576  rpnnen2lem11  15577
  Copyright terms: Public domain W3C validator