Theorem rpnnen2lem1 16262

Description: Lemma for rpnnen2 16274. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12299	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	elpw2 5352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3		eleq2 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
5	4	mpteq2dv 5268	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	1	mptex 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	2, 8	sylbir 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	fveq1d 6922	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11		eleq1 2832	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
12		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
13	11, 12	ifbieq1d 4572	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15		ovex 7481	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16		c0ex 11284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4598	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 7029	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
19	10, 18	sylan9eq 2800	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   / cdiv 11947  ℕcn 12293  3c3 12349  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  16264  rpnnen2lem4  16265  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem10  16271  rpnnen2lem11  16272