Theorem rpnnen2lem1 16143

Description: Lemma for rpnnen2 16155. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12155	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	elpw2 5280	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3		eleq2 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4504	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
5	4	mpteq2dv 5193	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	1	mptex 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	2, 8	sylbir 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
12		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
13	11, 12	ifbieq1d 4505	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15		ovex 7393	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16		c0ex 11130	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4531	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6942	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
19	10, 18	sylan9eq 2792	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ifcif 4480  𝒫 cpw 4555   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   / cdiv 11798  ℕcn 12149  3c3 12205  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-mulcl 11092  ax-i2m1 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12150

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  16145  rpnnen2lem4  16146  rpnnen2lem9  16151  rpnnen2lem10  16152  rpnnen2lem11  16153