Theorem rpnnen2lem1 16237

Description: Lemma for rpnnen2 16249. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12251	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	elpw2 5309	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3		eleq2 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4529	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
5	4	mpteq2dv 5220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	1	mptex 7220	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	2, 8	sylbir 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11		eleq1 2823	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
12		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
13	11, 12	ifbieq1d 4530	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15		ovex 7443	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16		c0ex 11234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4556	. . 3 ⊢ if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6991	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
19	10, 18	sylan9eq 2791	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  𝒫 cpw 4580   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   / cdiv 11899  ℕcn 12245  3c3 12301  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-mulcl 11196  ax-i2m1 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  16239  rpnnen2lem4  16240  rpnnen2lem9  16245  rpnnen2lem10  16246  rpnnen2lem11  16247