MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem1 15347
Description: Lemma for rpnnen2 15359. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 11381 . . . . 5 ℕ ∈ V
21elpw2 5062 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3 eleq2 2848 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛𝑥𝑛𝐴))
43ifbid 4329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 4980 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 6758 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6542 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 227 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109fveq1d 6448 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11 eleq1 2847 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝐴𝑁𝐴))
12 oveq2 6930 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
1311, 12ifbieq1d 4330 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14 eqid 2778 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15 ovex 6954 . . . 4 ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16 c0ex 10370 . . . 4 0 ∈ V
1715, 16ifex 4355 . . 3 if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6542 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
1910, 18sylan9eq 2834 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  ifcif 4307  𝒫 cpw 4379  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   / cdiv 11032  cn 11374  3c3 11431  cexp 13178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-mulcl 10334  ax-i2m1 10340
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-nn 11375
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  15349  rpnnen2lem4  15350  rpnnen2lem9  15355  rpnnen2lem10  15356  rpnnen2lem11  15357
  Copyright terms: Public domain W3C validator