Theorem rpnnen2lem9 16197

Description: Lemma for rpnnen2 16201. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem9	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nnz 12557	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eqidd 2731	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4		eluznn 12884	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		difss 4102	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6		rpnnen2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	6	rpnnen2lem2 16190	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
9	8	ffvelcdmi 7058	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
12	6	rpnnen2lem5 16193	. . . 4 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
13	5, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 3, 11, 13	isum1p 15814	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
15	6	rpnnen2lem1 16189	. . . . 5 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
16	5, 15	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17		neldifsnd 4760	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
18	17	iffalsed 4502	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
21		peano2nn 12205	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12563	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24		eluznn 12884	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	21, 24	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
28		3nn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
29		nndivre 12234	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
31	30	recni 11195	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33		0re 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		3re 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
35		3pos 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
36	34, 35	recgt0ii 12096	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 3)
37	33, 30, 36	ltleii 11304	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
38		absid 15269	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
39	30, 37, 38	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40		1lt3 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
41		recgt1 12086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
42	34, 35, 41	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
43	40, 42	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
44	39, 43	eqbrtri 5131	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
46	21	nnnn0d 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
47	6	rpnnen2lem1 16189	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
48	5, 47	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
49	25, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50		nnre 12200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		eluzle 12813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54		nnltp1le 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
55	25, 54	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
56	53, 55	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
57	51, 56	gtned 11316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ≠ 𝑀)
58		eldifsn 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 𝑀))
59	25, 57, 58	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
60	59	iftrued 4499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
61	49, 60	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
62	32, 45, 46, 61	geolim2 15844	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
63	20, 22, 23, 26, 62	isumclim 15730	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
64	19, 63	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
65	14, 64	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  𝒫 cpw 4566  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  3c3 12249  ℤ_≥cuz 12800  seqcseq 13973  ↑cexp 14033  abscabs 15207   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16199