Theorem rpnnen2lem9 15859

Description: Lemma for rpnnen2 15863. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem9	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nnz 12272	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4		eluznn 12587	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		difss 4062	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6		rpnnen2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	6	rpnnen2lem2 15852	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
9	8	ffvelrni 6942	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
12	6	rpnnen2lem5 15855	. . . 4 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
13	5, 12	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 3, 11, 13	isum1p 15481	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
15	6	rpnnen2lem1 15851	. . . . 5 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
16	5, 15	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17		neldifsnd 4723	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
18	17	iffalsed 4467	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
21		peano2nn 11915	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12354	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24		eluznn 12587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	21, 24	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		1re 10906	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
28		3nn 11982	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
29		nndivre 11944	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
31	30	recni 10920	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33		0re 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		3re 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
35		3pos 12008	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
36	34, 35	recgt0ii 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 3)
37	33, 30, 36	ltleii 11028	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
38		absid 14936	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
39	30, 37, 38	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40		1lt3 12076	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
41		recgt1 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
42	34, 35, 41	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
43	40, 42	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
44	39, 43	eqbrtri 5091	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
46	21	nnnn0d 12223	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
47	6	rpnnen2lem1 15851	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
48	5, 47	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
49	25, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50		nnre 11910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		eluzle 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54		nnltp1le 12306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
55	25, 54	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
56	53, 55	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
57	51, 56	gtned 11040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ≠ 𝑀)
58		eldifsn 4717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 𝑀))
59	25, 57, 58	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
60	59	iftrued 4464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
61	49, 60	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
62	32, 45, 46, 61	geolim2 15511	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
63	20, 22, 23, 26, 62	isumclim 15397	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
64	19, 63	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
65	14, 64	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  3c3 11959  ℤ_≥cuz 12511  seqcseq 13649  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15861