Theorem rpnnen2lem9 16184

Description: Lemma for rpnnen2 16188. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem9	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nnz 12540	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4		eluznn 12863	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		difss 4077	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6		rpnnen2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	6	rpnnen2lem2 16177	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
9	8	ffvelcdmi 7031	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
12	6	rpnnen2lem5 16180	. . . 4 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
13	5, 12	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 3, 11, 13	isum1p 15801	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
15	6	rpnnen2lem1 16176	. . . . 5 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
16	5, 15	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17		neldifsnd 4737	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
18	17	iffalsed 4478	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
21		peano2nn 12181	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12545	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24		eluznn 12863	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	21, 24	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		1re 11139	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
28		3nn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
29		nndivre 12213	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
31	30	recni 11154	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33		0re 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		3re 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
35		3pos 12281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
36	34, 35	recgt0ii 12057	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 3)
37	33, 30, 36	ltleii 11264	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
38		absid 15253	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
39	30, 37, 38	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40		1lt3 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
41		recgt1 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
42	34, 35, 41	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
43	40, 42	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
44	39, 43	eqbrtri 5107	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
46	21	nnnn0d 12493	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
47	6	rpnnen2lem1 16176	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
48	5, 47	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
49	25, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50		nnre 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		eluzle 12796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54		nnltp1le 12580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
55	25, 54	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
56	53, 55	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
57	51, 56	gtned 11276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ≠ 𝑀)
58		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 𝑀))
59	25, 57, 58	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
60	59	iftrued 4475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
61	49, 60	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
62	32, 45, 46, 61	geolim2 15831	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
63	20, 22, 23, 26, 62	isumclim 15714	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
64	19, 63	oveq12d 7380	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
65	14, 64	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5626  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  3c3 12232  ℤ_≥cuz 12783  seqcseq 13958  ↑cexp 14018  abscabs 15191   ⇝ cli 15441  Σcsu 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16186