MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem9 16104
Description: Lemma for rpnnen2 16108. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 nnz 12520 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2737 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4 eluznn 12843 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 difss 4091 . . . . . . 7 (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem2 16097 . . . . . . 7 ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
98ffvelcdmi 7034 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
126rpnnen2lem5 16100 . . . 4 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
135, 12mpan 688 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 15726 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
156rpnnen2lem1 16096 . . . . 5 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
165, 15mpan 688 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17 neldifsnd 4753 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
1817iffalsed 4497 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
1916, 18eqtrd 2776 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20 eqid 2736 . . . 4 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
21 peano2nn 12165 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2221nnzd 12526 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23 eqidd 2737 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24 eluznn 12843 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2521, 24sylan 580 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625, 10syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
28 3nn 12232 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
29 nndivre 12194 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
3027, 28, 29mp2an 690 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
3130recni 11169 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33 0re 11157 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 3re 12233 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
35 3pos 12258 . . . . . . . . . 10 0 < 3
3634, 35recgt0ii 12061 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 3)
3733, 30, 36ltleii 11278 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 3)
38 absid 15181 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
3930, 37, 38mp2an 690 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40 1lt3 12326 . . . . . . . 8 1 < 3
41 recgt1 12051 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
4234, 35, 41mp2an 690 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
4340, 42mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
4439, 43eqbrtri 5126 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
4621nnnn0d 12473 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
476rpnnen2lem1 16096 . . . . . . . 8 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
485, 47mpan 688 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
4925, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50 nnre 12160 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52 eluzle 12776 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54 nnltp1le 12559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5525, 54syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
5751, 56gtned 11290 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘𝑀)
58 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀))
5925, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
6059iftrued 4494 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
6149, 60eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
6232, 45, 46, 61geolim2 15756 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 15642 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6419, 63oveq12d 7375 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
6514, 64eqtrd 2776 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  3c3 12209  cuz 12763  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16106
  Copyright terms: Public domain W3C validator