Theorem rpnnen2lem9 16189

Description: Lemma for rpnnen2 16193. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem9	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nnz 12545	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4		eluznn 12868	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5		difss 4076	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6		rpnnen2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	6	rpnnen2lem2 16182	. . . . . . 7 ⊢ ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
9	8	ffvelcdmi 7035	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
12	6	rpnnen2lem5 16185	. . . 4 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
13	5, 12	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
14	1, 2, 3, 11, 13	isum1p 15806	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
15	6	rpnnen2lem1 16181	. . . . 5 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
16	5, 15	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17		neldifsnd 4738	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
18	17	iffalsed 4477	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
19	16, 18	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
21		peano2nn 12186	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12550	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24		eluznn 12868	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	21, 24	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
28		3nn 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
29		nndivre 12218	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
30	27, 28, 29	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
31	30	recni 11159	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33		0re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		3re 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
35		3pos 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
36	34, 35	recgt0ii 12062	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 3)
37	33, 30, 36	ltleii 11269	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
38		absid 15258	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
39	30, 37, 38	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40		1lt3 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
41		recgt1 12052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
42	34, 35, 41	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
43	40, 42	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) < 1
44	39, 43	eqbrtri 5106	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
45	44	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
46	21	nnnn0d 12498	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
47	6	rpnnen2lem1 16181	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
48	5, 47	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
49	25, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50		nnre 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52		eluzle 12801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54		nnltp1le 12585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
55	25, 54	syldan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
56	53, 55	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
57	51, 56	gtned 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ≠ 𝑀)
58		eldifsn 4731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ≠ 𝑀))
59	25, 57, 58	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
60	59	iftrued 4474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
61	49, 60	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
62	32, 45, 46, 61	geolim2 15836	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
63	20, 22, 23, 26, 62	isumclim 15719	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
64	19, 63	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
65	14, 64	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  𝒫 cpw 4541  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  3c3 12237  ℤ_≥cuz 12788  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  abscabs 15196   ⇝ cli 15446  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16191