MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem9 16161
Description: Lemma for rpnnen2 16165. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 nnz 12575 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 eqidd 2733 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜))
4 eluznn 12898 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5 difss 4130 . . . . . . 7 (β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„•
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem2 16154 . . . . . . 7 ((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀})):β„•βŸΆβ„)
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀})):β„•βŸΆβ„
98ffvelcdmi 7082 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
109recnd 11238 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
114, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
126rpnnen2lem5 16157 . . . 4 (((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
135, 12mpan 688 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 15783 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜)))
156rpnnen2lem1 16153 . . . . 5 (((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) = if(𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
165, 15mpan 688 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) = if(𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17 neldifsnd 4795 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}))
1817iffalsed 4538 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ if(𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
1916, 18eqtrd 2772 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) = 0)
20 eqid 2732 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))
21 peano2nn 12220 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2221nnzd 12581 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
23 eqidd 2733 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜))
24 eluznn 12898 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2521, 24sylan 580 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2625, 10syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
27 1re 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
28 3nn 12287 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
29 nndivre 12249 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
3027, 28, 29mp2an 690 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
3130recni 11224 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ β„‚
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 / 3) ∈ β„‚)
33 0re 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 3re 12288 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
35 3pos 12313 . . . . . . . . . 10 0 < 3
3634, 35recgt0ii 12116 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 3)
3733, 30, 36ltleii 11333 . . . . . . . 8 0 ≀ (1 / 3)
38 absid 15239 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 3)) β†’ (absβ€˜(1 / 3)) = (1 / 3))
3930, 37, 38mp2an 690 . . . . . . 7 (absβ€˜(1 / 3)) = (1 / 3)
40 1lt3 12381 . . . . . . . 8 1 < 3
41 recgt1 12106 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) β†’ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
4234, 35, 41mp2an 690 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
4340, 42mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
4439, 43eqbrtri 5168 . . . . . 6 (absβ€˜(1 / 3)) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(1 / 3)) < 1)
4621nnnn0d 12528 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
476rpnnen2lem1 16153 . . . . . . . 8 (((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
485, 47mpan 688 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
4925, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
50 nnre 12215 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
52 eluzle 12831 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜)
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜)
54 nnltp1le 12614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑀 < π‘˜ ↔ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜))
5525, 54syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 < π‘˜ ↔ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 < π‘˜)
5751, 56gtned 11345 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
58 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ β‰  𝑀))
5925, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}))
6059iftrued 4535 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0) = ((1 / 3)β†‘π‘˜))
6149, 60eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = ((1 / 3)β†‘π‘˜))
6232, 45, 46, 61geolim2 15813 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ seq(𝑀 + 1)( + , (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3))))
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 15699 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3))))
6419, 63oveq12d 7423 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3)))))
6514, 64eqtrd 2772 1 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  3c3 12264  β„€β‰₯cuz 12818  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16163
  Copyright terms: Public domain W3C validator