MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem9 16224
Description: Lemma for rpnnen2 16228. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 nnz 12631 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2727 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4 eluznn 12954 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 difss 4131 . . . . . . 7 (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem2 16217 . . . . . . 7 ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
98ffvelcdmi 7097 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 11292 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
126rpnnen2lem5 16220 . . . 4 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
135, 12mpan 688 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 15845 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
156rpnnen2lem1 16216 . . . . 5 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
165, 15mpan 688 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17 neldifsnd 4802 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
1817iffalsed 4544 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
1916, 18eqtrd 2766 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20 eqid 2726 . . . 4 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
21 peano2nn 12276 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2221nnzd 12637 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23 eqidd 2727 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24 eluznn 12954 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2521, 24sylan 578 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625, 10syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 1re 11264 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
28 3nn 12343 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
29 nndivre 12305 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
3027, 28, 29mp2an 690 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
3130recni 11278 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33 0re 11266 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 3re 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
35 3pos 12369 . . . . . . . . . 10 0 < 3
3634, 35recgt0ii 12172 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 3)
3733, 30, 36ltleii 11387 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 3)
38 absid 15301 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
3930, 37, 38mp2an 690 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40 1lt3 12437 . . . . . . . 8 1 < 3
41 recgt1 12162 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
4234, 35, 41mp2an 690 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
4340, 42mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
4439, 43eqbrtri 5174 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
4621nnnn0d 12584 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
476rpnnen2lem1 16216 . . . . . . . 8 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
485, 47mpan 688 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
4925, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50 nnre 12271 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52 eluzle 12887 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
5352adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54 nnltp1le 12670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5525, 54syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
5751, 56gtned 11399 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘𝑀)
58 eldifsn 4795 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀))
5925, 57, 58sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
6059iftrued 4541 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
6149, 60eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
6232, 45, 46, 61geolim2 15875 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 15761 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6419, 63oveq12d 7442 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
6514, 64eqtrd 2766 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4533  𝒫 cpw 4607  {csn 4633   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  3c3 12320  cuz 12874  seqcseq 14021  cexp 14081  abscabs 15239  cli 15486  Σcsu 15690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16226
  Copyright terms: Public domain W3C validator