MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem9 16111
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 nnz 12527 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 eqidd 2738 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜))
4 eluznn 12850 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5 difss 4096 . . . . . . 7 (β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„•
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem2 16104 . . . . . . 7 ((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀})):β„•βŸΆβ„)
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀})):β„•βŸΆβ„
98ffvelcdmi 7039 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
109recnd 11190 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
114, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
126rpnnen2lem5 16107 . . . 4 (((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
135, 12mpan 689 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 15733 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜)))
156rpnnen2lem1 16103 . . . . 5 (((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) = if(𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
165, 15mpan 689 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) = if(𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17 neldifsnd 4758 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}))
1817iffalsed 4502 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ if(𝑀 ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
1916, 18eqtrd 2777 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) = 0)
20 eqid 2737 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))
21 peano2nn 12172 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
2221nnzd 12533 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
23 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜))
24 eluznn 12850 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2521, 24sylan 581 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2625, 10syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
27 1re 11162 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
28 3nn 12239 . . . . . . . 8 3 ∈ β„•
29 nndivre 12201 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
3027, 28, 29mp2an 691 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
3130recni 11176 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ β„‚
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (1 / 3) ∈ β„‚)
33 0re 11164 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
35 3pos 12265 . . . . . . . . . 10 0 < 3
3634, 35recgt0ii 12068 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 3)
3733, 30, 36ltleii 11285 . . . . . . . 8 0 ≀ (1 / 3)
38 absid 15188 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 3)) β†’ (absβ€˜(1 / 3)) = (1 / 3))
3930, 37, 38mp2an 691 . . . . . . 7 (absβ€˜(1 / 3)) = (1 / 3)
40 1lt3 12333 . . . . . . . 8 1 < 3
41 recgt1 12058 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) β†’ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
4234, 35, 41mp2an 691 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
4340, 42mpbi 229 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
4439, 43eqbrtri 5131 . . . . . 6 (absβ€˜(1 / 3)) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(1 / 3)) < 1)
4621nnnn0d 12480 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
476rpnnen2lem1 16103 . . . . . . . 8 (((β„• βˆ– {𝑀}) βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
485, 47mpan 689 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
4925, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
50 nnre 12167 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
52 eluzle 12783 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜)
5352adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜)
54 nnltp1le 12566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑀 < π‘˜ ↔ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜))
5525, 54syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ (𝑀 < π‘˜ ↔ (𝑀 + 1) ≀ π‘˜))
5653, 55mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ 𝑀 < π‘˜)
5751, 56gtned 11297 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
58 eldifsn 4752 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ β‰  𝑀))
5925, 57, 58sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}))
6059iftrued 4499 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ if(π‘˜ ∈ (β„• βˆ– {𝑀}), ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0) = ((1 / 3)β†‘π‘˜))
6149, 60eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = ((1 / 3)β†‘π‘˜))
6232, 45, 46, 61geolim2 15763 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ seq(𝑀 + 1)( + , (πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3))))
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 15649 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3))))
6419, 63oveq12d 7380 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘€) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3)))))
6514, 64eqtrd 2777 1 (𝑀 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜(β„• βˆ– {𝑀}))β€˜π‘˜) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 βˆ’ (1 / 3)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  3c3 12216  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16113
  Copyright terms: Public domain W3C validator