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Theorem rpnnen2lem10 16166
Description: Lemma for rpnnen2 16169. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
rpnnen2.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
rpnnen2.4 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡))
rpnnen2.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)))
rpnnen2.6 (πœ“ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,π‘˜   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝐡,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   πœ“(π‘₯,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐴(π‘š)   𝐡(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ πœ“)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (πœ“ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
31, 2sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡))
6 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
7 ssel2 3978 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ β„•)
86, 7sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ π‘š ∈ β„•)
94, 5, 8syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ β„•)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 16164 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
124, 9, 11syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
13 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„€
14 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
15 elfzm11 13572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š)))
1613, 14, 15sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š)))
1716biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š))
189, 17sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š))
1918simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ < π‘š)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)))
21 elfznn 13530 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 < π‘š ↔ π‘˜ < π‘š))
23 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
24 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ 𝐡 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))
2523, 24bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2622, 25imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)) ↔ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))))
2726rspccva 3612 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2820, 21, 27syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))
3029ifbid 4552 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3110rpnnen2lem1 16157 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
324, 21, 31syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
3410rpnnen2lem1 16157 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3533, 21, 34syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
3736sumeq2dv 15649 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
3837oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
3912, 38eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
4039adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
4110rpnnen2lem8 16164 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4233, 9, 41syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4342adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
443, 40, 433eqtr3d 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4510rpnnen2lem6 16162 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 16162 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
49 fzfid 13938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 16158 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
52 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 15680 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
55 readdcan 11388 . . . 4 ((Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5756adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5844, 57mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  3c3 12268  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16167
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