Theorem rpnnen2lem10 15578

Description: Lemma for rpnnen2 15581. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
2		rpnnen2.6	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
3	1, 2	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
6		eldifi 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
7		ssel2 3964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
8	6, 7	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	4, 5, 8	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
11	10	rpnnen2lem8 15576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
12	4, 9, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
13		1z 12015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnz 12007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15		elfzm11 12981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
16	13, 14, 15	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
17	16	biimpa 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
18	9, 17	sylan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
19	18	simp3d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
21		elfznn 12939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚 ↔ 𝑘 < 𝑚))
23		eleq1w 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
24		eleq1w 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
25	23, 24	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
26	22, 25	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))))
27	26	rspccva 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
28	20, 21, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
30	29	ifbid 4491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
31	10	rpnnen2lem1 15569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32	4, 21, 31	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
34	10	rpnnen2lem1 15569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	33, 21, 34	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
37	36	sumeq2dv 15062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
39	12, 38	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
40	39	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
41	10	rpnnen2lem8 15576	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
42	33, 9, 41	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
43	42	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
45	10	rpnnen2lem6 15574	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
46	4, 9, 45	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	10	rpnnen2lem6 15574	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
48	33, 9, 47	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49		fzfid 13344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
50	10	rpnnen2lem2 15570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
51	33, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
52		ffvelrn 6851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
53	51, 21, 52	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
54	49, 53	fsumrecl 15093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55		readdcan 10816	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
57	56	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
58	44, 57	mpbid 234	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  3c3 11696  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  Σcsu 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15579