MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem10 16271
Description: Lemma for rpnnen2 16274. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝜓)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
31, 2sylib 218 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
6 eldifi 4154 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
7 ssel2 4003 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
86, 7sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
94, 5, 8syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 16269 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
124, 9, 11syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
13 1z 12673 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
14 nnz 12660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15 elfzm11 13655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1613, 14, 15sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1716biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
189, 17sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
1918simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
21 elfznn 13613 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 breq1 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚𝑘 < 𝑚))
23 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐴𝑘𝐴))
24 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐵𝑘𝐵))
2523, 24bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝐴𝑛𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2622, 25imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵))))
2726rspccva 3634 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2820, 21, 27syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3029ifbid 4571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3110rpnnen2lem1 16262 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
324, 21, 31syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
3410rpnnen2lem1 16262 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3533, 21, 34syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3736sumeq2dv 15750 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘))
3837oveq1d 7463 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
3912, 38eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4039adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4110rpnnen2lem8 16269 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4233, 9, 41syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4342adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
443, 40, 433eqtr3d 2788 . 2 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4510rpnnen2lem6 16267 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 16267 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49 fzfid 14024 . . . . 5 (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 16263 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
52 ffvelcdm 7115 . . . . . 6 (((𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 15782 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55 readdcan 11464 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5756adantr 480 . 2 ((𝜑𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5844, 57mpbid 232 1 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  cdif 3973  wss 3976  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  cmpt 5249  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  cn 12293  3c3 12349  cz 12639  cuz 12903  ...cfz 13567  cexp 14112  Σcsu 15734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16272
  Copyright terms: Public domain W3C validator