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Theorem rpnnen2lem10 16112
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
rpnnen2.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
rpnnen2.4 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡))
rpnnen2.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)))
rpnnen2.6 (πœ“ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,π‘˜   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝐡,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   πœ“(π‘₯,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐴(π‘š)   𝐡(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ πœ“)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (πœ“ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
31, 2sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡))
6 eldifi 4091 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
7 ssel2 3944 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ β„•)
86, 7sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ π‘š ∈ β„•)
94, 5, 8syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ β„•)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 16110 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
124, 9, 11syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
13 1z 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„€
14 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
15 elfzm11 13519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š)))
1613, 14, 15sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š)))
1716biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š))
189, 17sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š))
1918simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ < π‘š)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)))
21 elfznn 13477 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 < π‘š ↔ π‘˜ < π‘š))
23 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
24 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ 𝐡 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))
2523, 24bibi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2622, 25imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)) ↔ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))))
2726rspccva 3583 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2820, 21, 27syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))
3029ifbid 4514 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3110rpnnen2lem1 16103 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
324, 21, 31syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
3410rpnnen2lem1 16103 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3533, 21, 34syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
3736sumeq2dv 15595 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
3837oveq1d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
3912, 38eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
4039adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
4110rpnnen2lem8 16110 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4233, 9, 41syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4342adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
443, 40, 433eqtr3d 2785 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4510rpnnen2lem6 16108 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 16108 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
49 fzfid 13885 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 16104 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
52 ffvelcdm 7037 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 15626 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
55 readdcan 11336 . . . 4 ((Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5756adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5844, 57mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  3c3 12216  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16113
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