Theorem rpnnen2lem10 16259

Description: Lemma for rpnnen2 16262. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
2		rpnnen2.6	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
6		eldifi 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
7		ssel2 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
11	10	rpnnen2lem8 16257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
12	4, 9, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
13		1z 12647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnz 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15		elfzm11 13635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
18	9, 17	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
19	18	simp3d 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
21		elfznn 13593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚 ↔ 𝑘 < 𝑚))
23		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
24		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
25	23, 24	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
26	22, 25	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))))
27	26	rspccva 3621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
28	20, 21, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
30	29	ifbid 4549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
31	10	rpnnen2lem1 16250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32	4, 21, 31	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
34	10	rpnnen2lem1 16250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	33, 21, 34	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
37	36	sumeq2dv 15738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
39	12, 38	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
40	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
41	10	rpnnen2lem8 16257	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
42	33, 9, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
45	10	rpnnen2lem6 16255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
46	4, 9, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	10	rpnnen2lem6 16255	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
48	33, 9, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49		fzfid 14014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
50	10	rpnnen2lem2 16251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
51	33, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
52		ffvelcdm 7101	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
53	51, 21, 52	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
54	49, 53	fsumrecl 15770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55		readdcan 11435	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
57	56	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
58	44, 57	mpbid 232	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  3c3 12322  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16260