Theorem rpnnen2lem10 16313

Description: Lemma for rpnnen2 16316. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝜓(𝑥, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen2.6	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
2	1	bilani 510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
3		rpnnen2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		rpnnen2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
5		eldifi 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
6		ssel2 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
7	5, 6	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
8	3, 4, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
9		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	rpnnen2lem8 16311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
11	3, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
12		1z 12649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		nnz 12637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
14		elfzm11 13650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
16	15	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
17	8, 16	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
18	17	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
19		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
20		elfznn 13608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
21		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚 ↔ 𝑘 < 𝑚))
22		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
23		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
24	22, 23	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
25	21, 24	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))))
26	25	rspccva 3578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
27	19, 20, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
28	18, 27	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
29	28	ifbid 4509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
30	9	rpnnen2lem1 16304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
31	3, 20, 30	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
33	9	rpnnen2lem1 16304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34	32, 20, 33	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	29, 31, 34	3eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
36	35	sumeq2dv 15789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
37	36	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
38	11, 37	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
39	38	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
40	9	rpnnen2lem8 16311	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
41	32, 8, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
42	41	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
43	2, 39, 42	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
44	9	rpnnen2lem6 16309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
45	3, 8, 44	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
46	9	rpnnen2lem6 16309	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	32, 8, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
48		fzfid 14037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
49	9	rpnnen2lem2 16305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
50	32, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
51		ffvelcdm 7077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
52	50, 20, 51	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
53	48, 52	fsumrecl 15820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
54		readdcan 11409	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
55	45, 47, 53, 54	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
56	55	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
57	43, 56	mpbid 235	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   < clt 11268   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℕcn 12258  3c3 12321  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774

This theorem is used by:  rpnnen2lem11  16314