Theorem rpnnen2lem10 16167

Description: Lemma for rpnnen2 16170. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
2		rpnnen2.6	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
6		eldifi 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
7		ssel2 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
11	10	rpnnen2lem8 16165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
12	4, 9, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
13		1z 12539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnz 12526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15		elfzm11 13532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
18	9, 17	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
19	18	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
21		elfznn 13490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚 ↔ 𝑘 < 𝑚))
23		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
24		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
25	23, 24	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
26	22, 25	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))))
27	26	rspccva 3584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
28	20, 21, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
30	29	ifbid 4508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
31	10	rpnnen2lem1 16158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32	4, 21, 31	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
34	10	rpnnen2lem1 16158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	33, 21, 34	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
37	36	sumeq2dv 15644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
39	12, 38	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
40	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
41	10	rpnnen2lem8 16165	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
42	33, 9, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
45	10	rpnnen2lem6 16163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
46	4, 9, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	10	rpnnen2lem6 16163	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
48	33, 9, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49		fzfid 13914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
50	10	rpnnen2lem2 16159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
51	33, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
52		ffvelcdm 7035	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
53	51, 21, 52	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
54	49, 53	fsumrecl 15676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55		readdcan 11324	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
57	56	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
58	44, 57	mpbid 232	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  3c3 12218  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ↑cexp 14002  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16168