Theorem rpnnen2lem10 16146

Description: Lemma for rpnnen2 16149. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
2		rpnnen2.6	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
4		rpnnen2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
5		rpnnen2.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
6		eldifi 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
7		ssel2 3926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
10		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
11	10	rpnnen2lem8 16144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
12	4, 9, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
13		1z 12519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnz 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15		elfzm11 13509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚)))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
18	9, 17	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑚))
19	18	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20		rpnnen2.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
21		elfznn 13467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22		breq1 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚 ↔ 𝑘 < 𝑚))
23		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
24		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
25	23, 24	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
26	22, 25	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))))
27	26	rspccva 3573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
28	20, 21, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	19, 28	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
30	29	ifbid 4501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
31	10	rpnnen2lem1 16137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32	4, 21, 31	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33		rpnnen2.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
34	10	rpnnen2lem1 16137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	33, 21, 34	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
37	36	sumeq2dv 15623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
38	37	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
39	12, 38	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
40	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)))
41	10	rpnnen2lem8 16144	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
42	33, 9, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
44	3, 40, 43	3eqtr3d 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
45	10	rpnnen2lem6 16142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
46	4, 9, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
47	10	rpnnen2lem6 16142	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
48	33, 9, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49		fzfid 13894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
50	10	rpnnen2lem2 16138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
51	33, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
52		ffvelcdm 7024	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
53	51, 21, 52	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
54	49, 53	fsumrecl 15655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55		readdcan 11305	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
56	46, 48, 54, 55	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
57	56	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹‘𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
58	44, 57	mpbid 232	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4477  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  3c3 12199  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  ↑cexp 13982  Σcsu 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ico 13265  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16147