MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem10 15236
Description: Lemma for rpnnen2 15239. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝜓)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
31, 2sylib 209 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
6 eldifi 3894 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
7 ssel2 3756 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
86, 7sylan2 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
94, 5, 8syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 15234 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
124, 9, 11syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
13 1z 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
14 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15 elfzm11 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1613, 14, 15sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1716biimpa 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
189, 17sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
1918simp3d 1174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
21 elfznn 12577 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚𝑘 < 𝑚))
23 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐴𝑘𝐴))
24 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐵𝑘𝐵))
2523, 24bibi12d 336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝐴𝑛𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2622, 25imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵))))
2726rspccva 3460 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2820, 21, 27syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3029ifbid 4265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3110rpnnen2lem1 15227 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
324, 21, 31syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
3410rpnnen2lem1 15227 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3533, 21, 34syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3736sumeq2dv 14720 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘))
3837oveq1d 6857 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
3912, 38eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4039adantr 472 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4110rpnnen2lem8 15234 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4233, 9, 41syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4342adantr 472 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
443, 40, 433eqtr3d 2807 . 2 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4510rpnnen2lem6 15232 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 15232 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49 fzfid 12980 . . . . 5 (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 15228 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
52 ffvelrn 6547 . . . . . 6 (((𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 14752 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55 readdcan 10464 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1490 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5756adantr 472 . 2 ((𝜑𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5844, 57mpbid 223 1 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cdif 3729  wss 3732  ifcif 4243  𝒫 cpw 4315   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  3c3 11328  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cexp 13067  Σcsu 14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15237
  Copyright terms: Public domain W3C validator