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Theorem rpnnen2lem10 16170
Description: Lemma for rpnnen2 16173. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
rpnnen2.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
rpnnen2.4 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡))
rpnnen2.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)))
rpnnen2.6 (πœ“ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,π‘˜   𝐴,π‘˜,𝑛,π‘₯   𝐡,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,π‘š,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   πœ“(π‘₯,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐴(π‘š)   𝐡(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ πœ“)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (πœ“ ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
31, 2sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡))
6 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
7 ssel2 3976 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ β„•)
86, 7sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ (𝐴 βˆ– 𝐡)) β†’ π‘š ∈ β„•)
94, 5, 8syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘š ∈ β„•)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 16168 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
124, 9, 11syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
13 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„€
14 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
15 elfzm11 13576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š)))
1613, 14, 15sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š)))
1716biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š))
189, 17sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 1 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ < π‘š))
1918simp3d 1142 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ < π‘š)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)))
21 elfznn 13534 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 < π‘š ↔ π‘˜ < π‘š))
23 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
24 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ 𝐡 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))
2523, 24bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2622, 25imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)) ↔ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))))
2726rspccva 3610 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2820, 21, 27syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ < π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐡))
3029ifbid 4550 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3110rpnnen2lem1 16161 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
324, 21, 31syl2an 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•)
3410rpnnen2lem1 16161 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3533, 21, 34syl2an 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐡, ((1 / 3)β†‘π‘˜), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
3736sumeq2dv 15653 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
3837oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
3912, 38eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
4039adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)))
4110rpnnen2lem8 16168 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4233, 9, 41syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4342adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
443, 40, 433eqtr3d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
4510rpnnen2lem6 16166 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 16166 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
49 fzfid 13942 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...(π‘š βˆ’ 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 16162 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
52 ffvelcdm 7082 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 15684 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
55 readdcan 11392 . . . 4 ((Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5756adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘š βˆ’ 1))((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
5844, 57mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  3c3 12272  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16171
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