Theorem rpnnen2lem2 16182

Description: Lemma for rpnnen2 16193. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem2	⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12180	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	elpw2 5275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3		eleq2 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4490	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
5	4	mpteq2dv 5179	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6		rpnnen2.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	1	mptex 7178	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6947	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	2, 8	sylbir 235	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		3nn 12260	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nndivre 12218	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14		nnnn0 12444	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 14040	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ifcl 4512	. . . 4 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
21	9, 20	fmpt3d 7068	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  𝒫 cpw 4541   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11807  ℕcn 12174  3c3 12237  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16185  rpnnen2lem6  16186  rpnnen2lem7  16187  rpnnen2lem8  16188  rpnnen2lem9  16189  rpnnen2lem10  16190  rpnnen2lem12  16192