MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem2 16155
Description: Lemma for rpnnen2 16166. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 nnex 12215 . . . 4 β„• ∈ V
21elpw2 5335 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 β„• ↔ 𝐴 βŠ† β„•)
3 eleq2 2814 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
43ifbid 4543 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 5240 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 7216 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6988 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 β„• β†’ (πΉβ€˜π΄) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 234 . 2 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10 1re 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 3nn 12288 . . . . . 6 3 ∈ β„•
12 nndivre 12250 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
1310, 11, 12mp2an 689 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
14 nnnn0 12476 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
15 reexpcl 14041 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 586 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17 0re 11213 . . . 4 0 ∈ ℝ
18 ifcl 4565 . . . 4 ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 585 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
2019adantl 481 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
219, 20fmpt3d 7107 1 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  ifcif 4520  π’« cpw 4594   ↦ cmpt 5221  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   / cdiv 11868  β„•cn 12209  3c3 12265  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16158  rpnnen2lem6  16159  rpnnen2lem7  16160  rpnnen2lem8  16161  rpnnen2lem9  16162  rpnnen2lem10  16163  rpnnen2lem12  16165
  Copyright terms: Public domain W3C validator