Theorem rpnnen2lem2 16159

Description: Lemma for rpnnen2 16170. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem2	⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12168	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	elpw2 5284	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4508	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
5	4	mpteq2dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6		rpnnen2.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	1	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	2, 8	sylbir 235	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10		1re 11150	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		3nn 12241	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nndivre 12203	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14		nnnn0 12425	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 14019	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17		0re 11152	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ifcl 4530	. . . 4 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
21	9, 20	fmpt3d 7070	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   / cdiv 11811  ℕcn 12162  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16162  rpnnen2lem6  16163  rpnnen2lem7  16164  rpnnen2lem8  16165  rpnnen2lem9  16166  rpnnen2lem10  16167  rpnnen2lem12  16169