Theorem rpnnen2lem2 15570

Description: Lemma for rpnnen2 15581. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem2	⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11646	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	elpw2 5250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3		eleq2 2903	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4491	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
5	4	mpteq2dv 5164	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6		rpnnen2.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
7	1	mptex 6988	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	2, 8	sylbir 237	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10		1re 10643	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		3nn 11719	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nndivre 11681	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14		nnnn0 11907	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 13449	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17		0re 10645	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		ifcl 4513	. . . 4 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
20	19	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
21	9, 20	fmpt3d 6882	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541   ↦ cmpt 5148  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   / cdiv 11299  ℕcn 11640  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  15573  rpnnen2lem6  15574  rpnnen2lem7  15575  rpnnen2lem8  15576  rpnnen2lem9  15577  rpnnen2lem10  15578  rpnnen2lem12  15580