MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem2 16155
Description: Lemma for rpnnen2 16166. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 nnex 12215 . . . 4 β„• ∈ V
21elpw2 5345 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 β„• ↔ 𝐴 βŠ† β„•)
3 eleq2 2823 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
43ifbid 4551 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 5250 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 7222 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6996 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 β„• β†’ (πΉβ€˜π΄) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 234 . 2 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10 1re 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 3nn 12288 . . . . . 6 3 ∈ β„•
12 nndivre 12250 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (1 / 3) ∈ ℝ)
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
14 nnnn0 12476 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
15 reexpcl 14041 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 588 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17 0re 11213 . . . 4 0 ∈ ℝ
18 ifcl 4573 . . . 4 ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 587 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
2019adantl 483 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
219, 20fmpt3d 7113 1 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   / cdiv 11868  β„•cn 12209  3c3 12265  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16158  rpnnen2lem6  16159  rpnnen2lem7  16160  rpnnen2lem8  16161  rpnnen2lem9  16162  rpnnen2lem10  16163  rpnnen2lem12  16165
  Copyright terms: Public domain W3C validator