MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem2 16248
Description: Lemma for rpnnen2 16259. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 nnex 12270 . . . 4 ℕ ∈ V
21elpw2 5340 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛𝑥𝑛𝐴))
43ifbid 4554 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 7243 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 7016 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 235 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 3nn 12343 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nndivre 12305 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
1310, 11, 12mp2an 692 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
14 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 14116 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 587 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17 0re 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ
18 ifcl 4576 . . . 4 ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
2019adantl 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
219, 20fmpt3d 7136 1 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   / cdiv 11918  cn 12264  3c3 12320  0cn0 12524  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16251  rpnnen2lem6  16252  rpnnen2lem7  16253  rpnnen2lem8  16254  rpnnen2lem9  16255  rpnnen2lem10  16256  rpnnen2lem12  16258
  Copyright terms: Public domain W3C validator