Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem2 15401
 Description: Lemma for rpnnen2 15412. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem2 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem2
StepHypRef Expression
1 nnex 11492 . . . 4 ℕ ∈ V
21elpw2 5139 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3 eleq2 2871 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛𝑥𝑛𝐴))
43ifbid 4403 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 5056 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 6852 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6635 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 236 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10 1re 10487 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 3nn 11564 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nndivre 11526 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
1310, 11, 12mp2an 688 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
14 nnnn0 11752 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 13296 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 587 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
17 0re 10489 . . . 4 0 ∈ ℝ
18 ifcl 4425 . . . 4 ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
2019adantl 482 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
219, 20fmpt3d 6743 1 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  ifcif 4381  𝒫 cpw 4453   ↦ cmpt 5041  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   / cdiv 11145  ℕcn 11486  3c3 11541  ℕ0cn0 11745  ↑cexp 13279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-seq 13220  df-exp 13280 This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  15404  rpnnen2lem6  15405  rpnnen2lem7  15406  rpnnen2lem8  15407  rpnnen2lem9  15408  rpnnen2lem10  15409  rpnnen2lem12  15411
 Copyright terms: Public domain W3C validator