Theorem rrvadd 34759

Description: The sum of two random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrvadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvadd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5204	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩)
2		rrvadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		rrvadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
4	2, 3	rrvvf 34751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
5		rrvadd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6	2, 5	rrvvf 34751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
7	2	unveldomd 34722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
8		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩) = (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩))
9		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
10	1, 4, 6, 7, 8, 9	ofoprabco 32921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩)))
11		domprobsiga 34718	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		brsigarn 34491	. . . . . 6 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
14		elrnsiga 34433	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15	13, 14	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16		sxsiga 34498	. . . . 5 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17	15, 15, 16	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
18	2	rrvmbfm 34749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
19	3, 18	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
20	2	rrvmbfm 34749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
21	5, 20	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
22		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋‘𝑎) = (𝑋‘𝑏))
23		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑌‘𝑎) = (𝑌‘𝑏))
24	22, 23	opeq12d 4842	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩ = ⟨(𝑋‘𝑏), (𝑌‘𝑏)⟩)
25	24	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩) = (𝑏 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑏), (𝑌‘𝑏)⟩)
26	12, 15, 15, 19, 21, 25	mbfmco2 34572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩) ∈ (dom 𝑃MblFnM(𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)))
27		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
28	27	raddcn 34236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,)))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,))))
30	27	sxbrsiga 34597	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))))
32		df-brsiga 34489	. . . . . 6 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	29, 31, 33	cnmbfm 34570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)MblFnM𝔅ℝ))
35	12, 17, 15, 26, 34	mbfmco 34571	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩)) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
36	10, 35	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
37	2	rrvmbfm 34749	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
38	36, 37	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4868   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ran crn 5653   ∘ ccom 5656  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402   ∘_f cof 7662  ℝcr 11087   + caddc 11091  (,)cioo 13363  topGenctg 17480   Cn ccn 23342   ×_t ctx 23678  sigAlgebracsiga 34415  sigaGencsigagen 34445  𝔅_ℝcbrsiga 34488   ×_s csx 34495  MblFnMcmbfm 34556  Probcprb 34714  rRndVarcrrv 34747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-refld 21715  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-cmp 23505  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-fcls 24059  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-cfil 25375  df-cmet 25377  df-cms 25455  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cxp 26680  df-logb 26888  df-esum 34335  df-siga 34416  df-sigagen 34446  df-brsiga 34489  df-sx 34496  df-meas 34503  df-mbfm 34557  df-prob 34715  df-rrv 34748

This theorem is referenced by:  rrvsum  34761