Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvadd 31060
Description: The sum of two random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvadd.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvadd.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvadd.3 (𝜑𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
rrvadd (𝜑 → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4970 . . . 4 𝑎(𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩)
2 rrvadd.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 rrvadd.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
42, 3rrvvf 31052 . . . 4 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
5 rrvadd.3 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))
62, 5rrvvf 31052 . . . 4 (𝜑𝑌: dom 𝑃⟶ℝ)
72unveldomd 31023 . . . 4 (𝜑 dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
8 eqidd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩) = (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩))
9 eqidd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
101, 4, 6, 7, 8, 9ofoprabco 30013 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑓 + 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩)))
11 domprobsiga 31019 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
13 brsigarn 30792 . . . . . 6 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
14 elrnsiga 30734 . . . . . 6 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1513, 14mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
16 sxsiga 30799 . . . . 5 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ 𝔅 ran sigAlgebra) → (𝔅 ×s 𝔅) ∈ ran sigAlgebra)
1715, 15, 16syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝔅 ×s 𝔅) ∈ ran sigAlgebra)
182rrvmbfm 31050 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
193, 18mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
202rrvmbfm 31050 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
215, 20mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
22 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑋𝑎) = (𝑋𝑏))
23 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑌𝑎) = (𝑌𝑏))
2422, 23opeq12d 4631 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩ = ⟨(𝑋𝑏), (𝑌𝑏)⟩)
2524cbvmptv 4973 . . . . 5 (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩) = (𝑏 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑏), (𝑌𝑏)⟩)
2612, 15, 15, 19, 21, 25mbfmco2 30872 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩) ∈ (dom 𝑃MblFnM(𝔅 ×s 𝔅)))
27 eqid 2825 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2827raddcn 30520 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,)))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,))))
3027sxbrsiga 30897 . . . . . 6 (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))))
32 df-brsiga 30790 . . . . . 6 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
3429, 31, 33cnmbfm 30870 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝔅 ×s 𝔅)MblFnM𝔅))
3512, 17, 15, 26, 34mbfmco 30871 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩)) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
3610, 35eqeltrd 2906 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
372rrvmbfm 31050 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
3836, 37mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  cop 4403   cuni 4658  cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343  ccom 5346  cfv 6123  (class class class)co 6905  cmpt2 6907  𝑓 cof 7155  cr 10251   + caddc 10255  (,)cioo 12463  topGenctg 16451   Cn ccn 21399   ×t ctx 21734  sigAlgebracsiga 30715  sigaGencsigagen 30746  𝔅cbrsiga 30789   ×s csx 30796  MblFnMcmbfm 30857  Probcprb 31015  rRndVarcrrv 31048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-ac2 9600  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-refld 20312  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-fcls 22115  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-cfil 23423  df-cmet 23425  df-cms 23503  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-cxp 24703  df-logb 24905  df-esum 30635  df-siga 30716  df-sigagen 30747  df-brsiga 30790  df-sx 30797  df-meas 30804  df-mbfm 30858  df-prob 31016  df-rrv 31049
This theorem is referenced by:  rrvsum  31062
  Copyright terms: Public domain W3C validator