Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvadd 33981
Description: The sum of two random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvadd.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
rrvadd.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
rrvadd.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
rrvadd (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem rrvadd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5249 . . . 4 β„²π‘Ž(π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩)
2 rrvadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 rrvadd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
42, 3rrvvf 33973 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
5 rrvadd.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
62, 5rrvvf 33973 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
72unveldomd 33944 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
8 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩) = (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩))
9 eqidd 2727 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)))
101, 4, 6, 7, 8, 9ofoprabco 32394 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) = ((π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∘ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩)))
11 domprobsiga 33940 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
122, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 brsigarn 33712 . . . . . 6 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
14 elrnsiga 33654 . . . . . 6 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1513, 14mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
16 sxsiga 33719 . . . . 5 ((𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1715, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
182rrvmbfm 33971 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
193, 18mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
202rrvmbfm 33971 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ π‘Œ ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
215, 20mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
22 fveq2 6884 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜π‘))
23 fveq2 6884 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Œβ€˜π‘Ž) = (π‘Œβ€˜π‘))
2422, 23opeq12d 4876 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩ = ⟨(π‘‹β€˜π‘), (π‘Œβ€˜π‘)⟩)
2524cbvmptv 5254 . . . . 5 (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩) = (𝑏 ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘), (π‘Œβ€˜π‘)⟩)
2612, 15, 15, 19, 21, 25mbfmco2 33794 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩) ∈ (dom 𝑃MblFnM(𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ)))
27 eqid 2726 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
2827raddcn 33439 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn (topGenβ€˜ran (,)))
2928a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
3027sxbrsiga 33819 . . . . . 6 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
3130a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))))
32 df-brsiga 33710 . . . . . 6 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3332a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3429, 31, 33cnmbfm 33792 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ ((𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ)MblFnM𝔅ℝ))
3512, 17, 15, 26, 34mbfmco 33793 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∘ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩)) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
3610, 35eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
372rrvmbfm 33971 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3836, 37mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ∘f cof 7664  β„cr 11108   + caddc 11112  (,)cioo 13327  topGenctg 17390   Cn ccn 23079   Γ—t ctx 23415  sigAlgebracsiga 33636  sigaGencsigagen 33666  π”…ℝcbrsiga 33709   Γ—s csx 33716  MblFnMcmbfm 33777  Probcprb 33936  rRndVarcrrv 33969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-refld 21494  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-fcls 23796  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-cfil 25134  df-cmet 25136  df-cms 25214  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-cxp 26442  df-logb 26648  df-esum 33556  df-siga 33637  df-sigagen 33667  df-brsiga 33710  df-sx 33717  df-meas 33724  df-mbfm 33778  df-prob 33937  df-rrv 33970
This theorem is referenced by:  rrvsum  33983
  Copyright terms: Public domain W3C validator