Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvadd 31596
Description: The sum of two random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvadd.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvadd.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvadd.3 (𝜑𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
rrvadd (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5160 . . . 4 𝑎(𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩)
2 rrvadd.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 rrvadd.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
42, 3rrvvf 31588 . . . 4 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
5 rrvadd.3 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))
62, 5rrvvf 31588 . . . 4 (𝜑𝑌: dom 𝑃⟶ℝ)
72unveldomd 31559 . . . 4 (𝜑 dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
8 eqidd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩) = (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩))
9 eqidd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
101, 4, 6, 7, 8, 9ofoprabco 30324 . . 3 (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩)))
11 domprobsiga 31555 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
13 brsigarn 31329 . . . . . 6 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
14 elrnsiga 31271 . . . . . 6 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1513, 14mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
16 sxsiga 31336 . . . . 5 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ 𝔅 ran sigAlgebra) → (𝔅 ×s 𝔅) ∈ ran sigAlgebra)
1715, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝔅 ×s 𝔅) ∈ ran sigAlgebra)
182rrvmbfm 31586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
193, 18mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
202rrvmbfm 31586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
215, 20mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
22 fveq2 6666 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑋𝑎) = (𝑋𝑏))
23 fveq2 6666 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑌𝑎) = (𝑌𝑏))
2422, 23opeq12d 4809 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩ = ⟨(𝑋𝑏), (𝑌𝑏)⟩)
2524cbvmptv 5165 . . . . 5 (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩) = (𝑏 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑏), (𝑌𝑏)⟩)
2612, 15, 15, 19, 21, 25mbfmco2 31409 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩) ∈ (dom 𝑃MblFnM(𝔅 ×s 𝔅)))
27 eqid 2825 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2827raddcn 31058 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,)))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,))))
3027sxbrsiga 31434 . . . . . 6 (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝔅 ×s 𝔅) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))))
32 df-brsiga 31327 . . . . . 6 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
3429, 31, 33cnmbfm 31407 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝔅 ×s 𝔅)MblFnM𝔅))
3512, 17, 15, 26, 34mbfmco 31408 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋𝑎), (𝑌𝑎)⟩)) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
3610, 35eqeltrd 2917 . 2 (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
372rrvmbfm 31586 . 2 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋f + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
3836, 37mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cop 4569   cuni 4836  cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554  ccom 5557  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153  f cof 7400  cr 10528   + caddc 10532  (,)cioo 12731  topGenctg 16703   Cn ccn 21748   ×t ctx 22084  sigAlgebracsiga 31253  sigaGencsigagen 31283  𝔅cbrsiga 31326   ×s csx 31333  MblFnMcmbfm 31394  Probcprb 31551  rRndVarcrrv 31584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-refld 20665  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-fcls 22465  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-cfil 23773  df-cmet 23775  df-cms 23853  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054  df-logb 25256  df-esum 31173  df-siga 31254  df-sigagen 31284  df-brsiga 31327  df-sx 31334  df-meas 31341  df-mbfm 31395  df-prob 31552  df-rrv 31585
This theorem is referenced by:  rrvsum  31598
  Copyright terms: Public domain W3C validator