Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvadd 34072
Description: The sum of two random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvadd.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
rrvadd.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
rrvadd.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
rrvadd (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem rrvadd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5256 . . . 4 β„²π‘Ž(π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩)
2 rrvadd.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
3 rrvadd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
42, 3rrvvf 34064 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
5 rrvadd.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
62, 5rrvvf 34064 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
72unveldomd 34035 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
8 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩) = (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩))
9 eqidd 2729 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)))
101, 4, 6, 7, 8, 9ofoprabco 32463 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) = ((π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∘ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩)))
11 domprobsiga 34031 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
122, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 brsigarn 33803 . . . . . 6 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
14 elrnsiga 33745 . . . . . 6 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1513, 14mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
16 sxsiga 33810 . . . . 5 ((𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1715, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
182rrvmbfm 34062 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
193, 18mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
202rrvmbfm 34062 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ π‘Œ ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
215, 20mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
22 fveq2 6897 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘‹β€˜π‘Ž) = (π‘‹β€˜π‘))
23 fveq2 6897 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Œβ€˜π‘Ž) = (π‘Œβ€˜π‘))
2422, 23opeq12d 4882 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩ = ⟨(π‘‹β€˜π‘), (π‘Œβ€˜π‘)⟩)
2524cbvmptv 5261 . . . . 5 (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩) = (𝑏 ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘), (π‘Œβ€˜π‘)⟩)
2612, 15, 15, 19, 21, 25mbfmco2 33885 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩) ∈ (dom 𝑃MblFnM(𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ)))
27 eqid 2728 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
2827raddcn 33530 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn (topGenβ€˜ran (,)))
2928a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
3027sxbrsiga 33910 . . . . . 6 (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
3130a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ) = (sigaGenβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))))
32 df-brsiga 33801 . . . . . 6 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3332a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3429, 31, 33cnmbfm 33883 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ ((𝔅ℝ Γ—s 𝔅ℝ)MblFnM𝔅ℝ))
3512, 17, 15, 26, 34mbfmco 33884 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∘ (π‘Ž ∈ βˆͺ dom 𝑃 ↦ ⟨(π‘‹β€˜π‘Ž), (π‘Œβ€˜π‘Ž)⟩)) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
3610, 35eqeltrd 2829 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
372rrvmbfm 34062 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
3836, 37mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ∘f cof 7683  β„cr 11138   + caddc 11142  (,)cioo 13357  topGenctg 17419   Cn ccn 23141   Γ—t ctx 23477  sigAlgebracsiga 33727  sigaGencsigagen 33757  π”…ℝcbrsiga 33800   Γ—s csx 33807  MblFnMcmbfm 33868  Probcprb 34027  rRndVarcrrv 34060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-refld 21537  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-fcls 23858  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-cfil 25196  df-cmet 25198  df-cms 25276  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504  df-logb 26710  df-esum 33647  df-siga 33728  df-sigagen 33758  df-brsiga 33801  df-sx 33808  df-meas 33815  df-mbfm 33869  df-prob 34028  df-rrv 34061
This theorem is referenced by:  rrvsum  34074
  Copyright terms: Public domain W3C validator