Theorem rrvadd 31060

Description: The sum of two random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrvadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvadd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
rrvadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 4970	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩)
2		rrvadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3		rrvadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
4	2, 3	rrvvf 31052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
5		rrvadd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6	2, 5	rrvvf 31052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
7	2	unveldomd 31023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
8		eqidd 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩) = (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩))
9		eqidd 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
10	1, 4, 6, 7, 8, 9	ofoprabco 30013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩)))
11		domprobsiga 31019	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
13		brsigarn 30792	. . . . . 6 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
14		elrnsiga 30734	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16		sxsiga 30799	. . . . 5 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra) → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
17	15, 15, 16	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
18	2	rrvmbfm 31050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
19	3, 18	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
20	2	rrvmbfm 31050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
21	5, 20	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
22		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋‘𝑎) = (𝑋‘𝑏))
23		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑌‘𝑎) = (𝑌‘𝑏))
24	22, 23	opeq12d 4631	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩ = ⟨(𝑋‘𝑏), (𝑌‘𝑏)⟩)
25	24	cbvmptv 4973	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩) = (𝑏 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑏), (𝑌‘𝑏)⟩)
26	12, 15, 15, 19, 21, 25	mbfmco2 30872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩) ∈ (dom 𝑃MblFnM(𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)))
27		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
28	27	raddcn 30520	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,)))
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn (topGen‘ran (,))))
30	27	sxbrsiga 30897	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ) = (sigaGen‘((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))))
32		df-brsiga 30790	. . . . . 6 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	29, 31, 33	cnmbfm 30870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ)MblFnM𝔅ℝ))
35	12, 17, 15, 26, 34	mbfmco 30871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∘ (𝑎 ∈ ∪ dom 𝑃 ↦ ⟨(𝑋‘𝑎), (𝑌‘𝑎)⟩)) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
36	10, 35	eqeltrd 2906	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
37	2	rrvmbfm 31050	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
38	36, 37	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ⟨cop 4403  ∪ cuni 4658   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343   ∘ ccom 5346  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↦ cmpt2 6907   ∘_𝑓 cof 7155  ℝcr 10251   + caddc 10255  (,)cioo 12463  topGenctg 16451   Cn ccn 21399   ×_t ctx 21734  sigAlgebracsiga 30715  sigaGencsigagen 30746  𝔅_ℝcbrsiga 30789   ×_s csx 30796  MblFnMcmbfm 30857  Probcprb 31015  rRndVarcrrv 31048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-ac2 9600  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-refld 20312  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-fcls 22115  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-cfil 23423  df-cmet 23425  df-cms 23503  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-cxp 24703  df-logb 24905  df-esum 30635  df-siga 30716  df-sigagen 30747  df-brsiga 30790  df-sx 30797  df-meas 30804  df-mbfm 30858  df-prob 31016  df-rrv 31049

This theorem is referenced by:  rrvsum  31062