Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvmulc 31718
 Description: A random variable multiplied by a constant is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvmulc.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvmulc.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvmulc.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rrvmulc (𝜑 → (𝑋f/c · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvmulc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvmulc.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 rrvmulc.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvvf 31709 . . . 4 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
4 domprobsiga 31676 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
65uniexd 7443 . . . 4 (𝜑 dom 𝑃 ∈ V)
7 rrvmulc.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
83, 6, 7ofcfval4 31371 . . 3 (𝜑 → (𝑋f/c · 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∘ 𝑋))
9 brsigarn 31450 . . . . 5 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
10 elrnsiga 31392 . . . . 5 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
121rrvmbfm 31707 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
132, 12mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
14 eqid 2821 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
1514, 7rmulccn 31178 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
16 df-brsiga 31448 . . . . . 6 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
1815, 17, 17cnmbfm 31528 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝔅MblFnM𝔅))
195, 11, 11, 13, 18mbfmco 31529 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∘ 𝑋) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
208, 19eqeltrd 2912 . 2 (𝜑 → (𝑋f/c · 𝐶) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
211rrvmbfm 31707 . 2 (𝜑 → ((𝑋f/c · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋f/c · 𝐶) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
2220, 21mpbird 260 1 (𝜑 → (𝑋f/c · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471  ∪ cuni 4811   ↦ cmpt 5119  dom cdm 5528  ran crn 5529   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513   · cmul 10519  (,)cioo 12716  topGenctg 16689   ∘f/c cofc 31361  sigAlgebracsiga 31374  sigaGencsigagen 31404  𝔅ℝcbrsiga 31447  MblFnMcmbfm 31515  Probcprb 31672  rRndVarcrrv 31705 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-ac2 9862  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-acn 9347  df-ac 9519  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-esum 31294  df-ofc 31362  df-siga 31375  df-sigagen 31405  df-brsiga 31448  df-meas 31462  df-mbfm 31516  df-prob 31673  df-rrv 31706 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator