Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrvmulc 31050
 Description: A random variable multiplied by a constant is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvmulc.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
rrvmulc.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvmulc.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rrvmulc (𝜑 → (𝑋𝑓/𝑐 · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvmulc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvmulc.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 rrvmulc.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvvf 31041 . . . 4 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
4 domprobsiga 31008 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
6 uniexg 7215 . . . . 5 (dom 𝑃 ran sigAlgebra → dom 𝑃 ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 dom 𝑃 ∈ V)
8 rrvmulc.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 7, 8ofcfval4 30701 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑓/𝑐 · 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∘ 𝑋))
10 brsigarn 30781 . . . . 5 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
11 elrnsiga 30723 . . . . 5 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1210, 11mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → 𝔅 ran sigAlgebra)
131rrvmbfm 31039 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
142, 13mpbid 224 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
15 eqid 2825 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
1615, 8rmulccn 30508 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
17 df-brsiga 30779 . . . . . 6 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
1916, 18, 18cnmbfm 30859 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝔅MblFnM𝔅))
205, 12, 12, 14, 19mbfmco 30860 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∘ 𝑋) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
219, 20eqeltrd 2906 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑓/𝑐 · 𝐶) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
221rrvmbfm 31039 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑓/𝑐 · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋𝑓/𝑐 · 𝐶) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
2321, 22mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑋𝑓/𝑐 · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414  ∪ cuni 4658   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343   ∘ ccom 5346  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251   · cmul 10257  (,)cioo 12463  topGenctg 16451  ∘𝑓/𝑐cofc 30691  sigAlgebracsiga 30704  sigaGencsigagen 30735  𝔅ℝcbrsiga 30778  MblFnMcmbfm 30846  Probcprb 31004  rRndVarcrrv 31037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-ac2 9600  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-mulf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-esum 30624  df-ofc 30692  df-siga 30705  df-sigagen 30736  df-brsiga 30779  df-meas 30793  df-mbfm 30847  df-prob 31005  df-rrv 31038 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator