Theorem rrvmulc 32661

Description: A random variable multiplied by a constant is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrvmulc.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
rrvmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
rrvmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rrvmulc	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f/c · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Proof of Theorem rrvmulc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrvmulc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		rrvmulc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvvf 32652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
4		domprobsiga 32619	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6	5	uniexd 7649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝑃 ∈ V)
7		rrvmulc.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	3, 6, 7	ofcfval4 32312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f/c · 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∘ 𝑋))
9		brsigarn 32391	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
10		elrnsiga 32333	. . . . 5 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12	1	rrvmbfm 32650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
13	2, 12	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
15	14, 7	rmulccn 32117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
16		df-brsiga 32389	. . . . . 6 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
18	15, 17, 17	cnmbfm 32471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∈ (𝔅ℝMblFnM𝔅ℝ))
19	5, 11, 11, 13, 18	mbfmco 32472	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · 𝐶)) ∘ 𝑋) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
20	8, 19	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f/c · 𝐶) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
21	1	rrvmbfm 32650	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f/c · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋 ∘f/c · 𝐶) ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
22	20, 21	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f/c · 𝐶) ∈ (rRndVar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5614  ran crn 5615   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℝcr 10963   · cmul 10969  (,)cioo 13172  topGenctg 17237   ∘_f/c cofc 32302  sigAlgebracsiga 32315  sigaGencsigagen 32345  𝔅_ℝcbrsiga 32388  MblFnMcmbfm 32456  Probcprb 32615  rRndVarcrrv 32648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-ac2 10312  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-mulf 11044

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-dju 9750  df-card 9788  df-acn 9791  df-ac 9965  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-esum 32235  df-ofc 32303  df-siga 32316  df-sigagen 32346  df-brsiga 32389  df-meas 32403  df-mbfm 32457  df-prob 32616  df-rrv 32649

This theorem is referenced by: (None)