Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcom Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The adder sequence function is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hadcoma 1600 . . . 4 (hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘)) ↔ hadd(𝑘𝐵, 𝑘𝐴, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘)))
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘)) ↔ hadd(𝑘𝐵, 𝑘𝐴, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))))
32rabbidv 3427 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))} = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐵, 𝑘𝐴, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))})
4 simpl 486 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
5 simpr 488 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
6 eqid 2798 . . 3 seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
74, 5, 6sadfval 15791 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))})
8 cadcoma 1614 . . . . . . 7 (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐))
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 2o𝑚 ∈ ℕ0) → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐)))
109ifbid 4447 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 2o𝑚 ∈ ℕ0) → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) = if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))
1110mpoeq3ia 7211 . . . 4 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))
12 seqeq2 13368 . . . 4 ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) → seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐵, 𝑚𝐴, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
145, 4, 13sadfval 15791 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐵 sadd 𝐴) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐵, 𝑘𝐴, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))})
153, 7, 143eqtr4d 2843 1 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐵 sadd 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  haddwhad 1594  caddwcad 1608   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  1oc1o 8078  2oc2o 8079  0cc0 10526  1c1 10527   − cmin 10859  ℕ0cn0 11885  seqcseq 13364   sadd csad 15759 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626  df-n0 11886  df-seq 13365  df-sad 15790 This theorem is referenced by:  sadid2  15808
 Copyright terms: Public domain W3C validator