MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  saddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saddisjlem 16464
Description: Lemma for sadadd 16467. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
saddisj.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
saddisjlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
saddisjlem (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saddisj.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 saddisj.2 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 saddisjlem.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4 saddisjlem.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
51, 2, 3, 4sadval 16456 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
6 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
76eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
87notbid 317 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
98imbi2d 339 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
1110eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1211notbid 317 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1312imbi2d 339 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
14 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
1514eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1615notbid 317 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 339 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
1918eleq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2019notbid 317 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2120imbi2d 339 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
221, 2, 3sadc0 16454 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23 noel 4333 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑘 ∈ ∅
241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
252ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 25, 3, 26sadcp1 16455 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
28 cad0 1612 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
30 elin 3963 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 saddisj.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝐴𝐵) = ∅)
3332eleq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3430, 33bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ((𝑘𝐴𝑘𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3527, 29, 343bitrd 304 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3623, 35mtbiri 326 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
3736ex 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
3837expcom 412 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
3938a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
409, 13, 17, 21, 22, 39nn0ind 12709 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
414, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))
42 hadrot 1595 . . . 4 (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
43 had0 1598 . . . 4 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4442, 43bitr3id 284 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4541, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
46 noel 4333 . . . . 5 ¬ 𝑁 ∈ ∅
47 elin 3963 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
4831eleq2d 2812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
4947, 48bitr3id 284 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
5046, 49mtbiri 326 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
51 xor2 1511 . . . . 5 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ∧ ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5251rbaib 537 . . . 4 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5350, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
54 elun 4148 . . 3 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
5553, 54bitr4di 288 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
565, 45, 553bitrd 304 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  wxo 1505   = wceq 1534  haddwhad 1587  caddwcad 1600  wcel 2099  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  ifcif 4533  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  1oc1o 8489  2oc2o 8490  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  0cn0 12524  seqcseq 14021   sadd csad 16420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-had 1588  df-cad 1601  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-sad 16451
This theorem is referenced by:  saddisj  16465
  Copyright terms: Public domain W3C validator