Theorem saddisjlem 15673

Description: Lemma for sadadd 15676. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
saddisjlem.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
saddisjlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		saddisjlem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4		saddisjlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 3, 4	sadval 15665	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
6		fveq2 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
7	6	eleq2d 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
8	7	notbid 310	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
9	8	imbi2d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10		fveq2 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
11	10	eleq2d 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
12	11	notbid 310	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
13	12	imbi2d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
14		fveq2 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
15	14	eleq2d 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
16	15	notbid 310	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
19	18	eleq2d 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
20	19	notbid 310	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
21	20	imbi2d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
22	1, 2, 3	sadc0 15663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23		noel 4184	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
24	1	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
25	2	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26		simplr 756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 25, 3, 26	sadcp1 15664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
28		cad0 1580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	28	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
30		elin 4058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
31		saddisj.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
33	32	eleq2d 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
34	30, 33	syl5bbr 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35	27, 29, 34	3bitrd 297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
36	23, 35	mtbiri 319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
37	36	ex 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
38	37	expcom 406	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
40	9, 13, 17, 21, 22, 39	nn0ind 11890	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
41	4, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))
42		hadrot 1564	. . . 4 ⊢ (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
43		had0 1567	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
44	42, 43	syl5bbr 277	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
46		noel 4184	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ∅
47		elin 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
48	31	eleq2d 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
49	47, 48	syl5bbr 277	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
50	46, 49	mtbiri 319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
51		xor2 1494	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵) ∧ ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)))
52	51	rbaib 531	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
53	50, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
54		elun 4015	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵))
55	53, 54	syl6bbr 281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
56	5, 45, 55	3bitrd 297	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ⊻ wxo 1488   = wceq 1507  haddwhad 1556  caddwcad 1569   ∈ wcel 2050   ∪ cun 3828   ∩ cin 3829   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179  ifcif 4350   ↦ cmpt 5008  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∈ cmpo 6978  1_oc1o 7898  2_oc2o 7899  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   − cmin 10670  ℕ₀cn0 11707  seqcseq 13184   sadd csad 15629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-had 1557  df-cad 1570  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-seq 13185  df-sad 15660

This theorem is referenced by:  saddisj  15674