Theorem saddisjlem 16501

Description: Lemma for sadadd 16504. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
saddisjlem.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
saddisjlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		saddisjlem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4		saddisjlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 3, 4	sadval 16493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
6		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
7	6	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
8	7	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
9	8	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
11	10	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
12	11	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
13	12	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
14		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
15	14	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
16	15	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
19	18	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
20	19	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
21	20	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
22	1, 2, 3	sadc0 16491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23		noel 4338	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
24	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
25	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 25, 3, 26	sadcp1 16492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
28		cad0 1618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
30		elin 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
31		saddisj.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
33	32	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
34	30, 33	bitr3id 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35	27, 29, 34	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
36	23, 35	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
37	36	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
38	37	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
40	9, 13, 17, 21, 22, 39	nn0ind 12713	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
41	4, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))
42		hadrot 1601	. . . 4 ⊢ (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
43		had0 1604	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
44	42, 43	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
46		noel 4338	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ∅
47		elin 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
48	31	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
49	47, 48	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
50	46, 49	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
51		xor2 1517	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵) ∧ ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)))
52	51	rbaib 538	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
53	50, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
54		elun 4153	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵))
55	53, 54	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
56	5, 45, 55	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ⊻ wxo 1511   = wceq 1540  haddwhad 1593  caddwcad 1606   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  seqcseq 14042   sadd csad 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sad 16488

This theorem is referenced by:  saddisj  16502