Theorem saddisjlem 16171

Description: Lemma for sadadd 16174. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
saddisjlem.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
saddisjlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		saddisjlem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4		saddisjlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 3, 4	sadval 16163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
6		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
7	6	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
8	7	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
9	8	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
11	10	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
12	11	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
13	12	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
14		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
15	14	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
16	15	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
19	18	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
20	19	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
21	20	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
22	1, 2, 3	sadc0 16161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23		noel 4264	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
24	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
25	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 25, 3, 26	sadcp1 16162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
28		cad0 1620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
30		elin 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
31		saddisj.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
33	32	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
34	30, 33	bitr3id 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35	27, 29, 34	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
36	23, 35	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
37	36	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
38	37	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
40	9, 13, 17, 21, 22, 39	nn0ind 12415	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
41	4, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))
42		hadrot 1603	. . . 4 ⊢ (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
43		had0 1606	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
44	42, 43	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
46		noel 4264	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ∅
47		elin 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
48	31	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
49	47, 48	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
50	46, 49	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
51		xor2 1513	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵) ∧ ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)))
52	51	rbaib 539	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
53	50, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
54		elun 4083	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵))
55	53, 54	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
56	5, 45, 55	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ⊻ wxo 1506   = wceq 1539  haddwhad 1594  caddwcad 1608   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  seqcseq 13721   sadd csad 16127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sad 16158

This theorem is referenced by:  saddisj  16172