Theorem saddisjlem 16436

Description: Lemma for sadadd 16439. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
saddisjlem.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
saddisjlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		saddisjlem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4		saddisjlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 3, 4	sadval 16428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
6		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
7	6	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
8	7	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
9	8	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
11	10	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
12	11	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
13	12	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
14		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
15	14	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
16	15	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
19	18	eleq2d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
20	19	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
21	20	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
22	1, 2, 3	sadc0 16426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23		noel 4326	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
24	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
25	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 25, 3, 26	sadcp1 16427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
28		cad0 1611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	28	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
30		elin 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
31		saddisj.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
33	32	eleq2d 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
34	30, 33	bitr3id 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35	27, 29, 34	3bitrd 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
36	23, 35	mtbiri 326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
37	36	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
38	37	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
40	9, 13, 17, 21, 22, 39	nn0ind 12685	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
41	4, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))
42		hadrot 1594	. . . 4 ⊢ (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
43		had0 1597	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
44	42, 43	bitr3id 284	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
46		noel 4326	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ∅
47		elin 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
48	31	eleq2d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
49	47, 48	bitr3id 284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
50	46, 49	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
51		xor2 1510	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵) ∧ ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)))
52	51	rbaib 537	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
53	50, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
54		elun 4141	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵))
55	53, 54	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
56	5, 45, 55	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ⊻ wxo 1504   = wceq 1533  haddwhad 1586  caddwcad 1599   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4318  ifcif 4524   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  1_oc1o 8476  2_oc2o 8477  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   − cmin 11472  ℕ₀cn0 12500  seqcseq 13996   sadd csad 16392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1587  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-sad 16423

This theorem is referenced by:  saddisj  16437