MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  saddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saddisjlem 16169
Description: Lemma for sadadd 16172. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
saddisj.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
saddisjlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
saddisjlem (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saddisj.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 saddisj.2 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 saddisjlem.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4 saddisjlem.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
51, 2, 3, 4sadval 16161 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
6 fveq2 6771 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
76eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
87notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
98imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10 fveq2 6771 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
1110eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1211notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1312imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
14 fveq2 6771 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
1514eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1615notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6771 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
1918eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2019notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2120imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
221, 2, 3sadc0 16159 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23 noel 4270 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑘 ∈ ∅
241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
252ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 25, 3, 26sadcp1 16160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
28 cad0 1624 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
30 elin 3908 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 saddisj.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3231ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝐴𝐵) = ∅)
3332eleq2d 2826 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3430, 33bitr3id 285 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ((𝑘𝐴𝑘𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3527, 29, 343bitrd 305 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3623, 35mtbiri 327 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
3736ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
3837expcom 414 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
3938a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
409, 13, 17, 21, 22, 39nn0ind 12415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
414, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))
42 hadrot 1607 . . . 4 (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
43 had0 1610 . . . 4 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4442, 43bitr3id 285 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4541, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
46 noel 4270 . . . . 5 ¬ 𝑁 ∈ ∅
47 elin 3908 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
4831eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
4947, 48bitr3id 285 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
5046, 49mtbiri 327 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
51 xor2 1513 . . . . 5 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ∧ ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5251rbaib 539 . . . 4 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5350, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
54 elun 4088 . . 3 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
5553, 54bitr4di 289 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
565, 45, 553bitrd 305 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  wxo 1506   = wceq 1542  haddwhad 1598  caddwcad 1612  wcel 2110  cun 3890  cin 3891  wss 3892  c0 4262  ifcif 4465  cmpt 5162  cfv 6432  (class class class)co 7271  cmpo 7273  1oc1o 8281  2oc2o 8282  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875  cmin 11205  0cn0 12233  seqcseq 13719   sadd csad 16125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1599  df-cad 1613  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-seq 13720  df-sad 16156
This theorem is referenced by:  saddisj  16170
  Copyright terms: Public domain W3C validator