Theorem saddisjlem 16405

Description: Lemma for sadadd 16408. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
saddisjlem.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
saddisjlem	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		saddisjlem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4		saddisjlem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 3, 4	sadval 16397	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
6		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘0))
7	6	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
8	7	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
9	8	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑘))
11	10	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
12	11	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)))
13	12	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
14		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
15	14	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
16	15	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐶‘𝑥) = (𝐶‘𝑁))
19	18	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
20	19	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
21	20	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))))
22	1, 2, 3	sadc0 16395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23		noel 4331	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
24	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
25	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	24, 25, 3, 26	sadcp1 16396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘))))
28		cad0 1620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	28	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (cadd(𝑘 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
30		elin 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
31		saddisj.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
33	32	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
34	30, 33	bitr3id 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35	27, 29, 34	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
36	23, 35	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
37	36	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
38	37	expcom 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
39	38	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
40	9, 13, 17, 21, 22, 39	nn0ind 12657	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
41	4, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁))
42		hadrot 1603	. . . 4 ⊢ (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)))
43		had0 1606	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶‘𝑁), 𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
44	42, 43	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ (𝐶‘𝑁) → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (hadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐵, ∅ ∈ (𝐶‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵)))
46		noel 4331	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ∅
47		elin 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
48	31	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
49	47, 48	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
50	46, 49	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵))
51		xor2 1517	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵) ∧ ¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)))
52	51	rbaib 540	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
53	50, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵)))
54		elun 4149	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐵))
55	53, 54	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ 𝐴 ⊻ 𝑁 ∈ 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
56	5, 45, 55	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ⊻ wxo 1510   = wceq 1542  haddwhad 1595  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1_oc1o 8459  2_oc2o 8460  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  seqcseq 13966   sadd csad 16361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sad 16392

This theorem is referenced by:  saddisj  16406