MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  saddisjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saddisjlem 15807
Description: Lemma for sadadd 15810. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
saddisj.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
saddisjlem.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
saddisjlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
saddisjlem (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem saddisjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saddisj.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 saddisj.2 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 saddisjlem.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4 saddisjlem.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
51, 2, 3, 4sadval 15799 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
6 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝐶𝑥) = (𝐶‘0))
76eleq2d 2878 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
87notbid 321 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0)))
98imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))))
10 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑘))
1110eleq2d 2878 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1211notbid 321 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
1312imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
14 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
1514eleq2d 2878 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1615notbid 321 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑁))
1918eleq2d 2878 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2019notbid 321 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
2120imbi2d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑥)) ↔ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
221, 2, 3sadc0 15797 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘0))
23 noel 4250 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑘 ∈ ∅
241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 25, 3, 26sadcp1 15798 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
28 cad0 1619 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (cadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘)) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
30 elin 3900 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 saddisj.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝐴𝐵) = ∅)
3332eleq2d 2878 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3430, 33bitr3id 288 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ((𝑘𝐴𝑘𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3527, 29, 343bitrd 308 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3623, 35mtbiri 330 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))
3736ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1))))
3837expcom 417 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘) → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
3938a2d 29 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑘)) → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶‘(𝑘 + 1)))))
409, 13, 17, 21, 22, 39nn0ind 12069 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
414, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁))
42 hadrot 1603 . . . 4 (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
43 had0 1606 . . . 4 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(∅ ∈ (𝐶𝑁), 𝑁𝐴, 𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4442, 43bitr3id 288 . . 3 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
4541, 44syl 17 . 2 (𝜑 → (hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
46 noel 4250 . . . . 5 ¬ 𝑁 ∈ ∅
47 elin 3900 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
4831eleq2d 2878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
4947, 48bitr3id 288 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ ∅))
5046, 49mtbiri 330 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
51 xor2 1509 . . . . 5 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ∧ ¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5251rbaib 542 . . . 4 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
5350, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
54 elun 4079 . . 3 (𝑁 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵))
5553, 54syl6bbr 292 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
565, 45, 553bitrd 308 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  wxo 1502   = wceq 1538  haddwhad 1594  caddwcad 1608  wcel 2112  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  1oc1o 8082  2oc2o 8083  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  cmin 10863  0cn0 11889  seqcseq 13368   sadd csad 15763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-sad 15794
This theorem is referenced by:  saddisj  15808
  Copyright terms: Public domain W3C validator