MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcp1 15385
Description: The carry sequence (which is a sequence of wffs, encoded as 1𝑜 and ) is defined recursively as the carry operation applied to the previous carry and the two current inputs. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcp1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11924 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2860 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 13023 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
6 sadval.c . . . . . 6 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
76fveq1i 6333 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6333 . . . . . 6 (𝐶𝑁) = (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)
98oveq1i 6803 . . . . 5 ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2830 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
11 peano2nn0 11535 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
12 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 = 0 ↔ (𝑁 + 1) = 0))
13 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1412, 13ifbieq2d 4250 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 + 1) → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
15 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
16 0ex 4924 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
17 ovex 6823 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) − 1) ∈ V
1816, 17ifex 4295 . . . . . . . 8 if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ V
1914, 15, 18fvmpt 6424 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
201, 11, 193syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
21 nn0p1nn 11534 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
221, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 11267 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24 ifnefalse 4237 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ≠ 0 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
261nn0cnd 11555 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 1cnd 10258 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2826, 27pncand 10595 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2920, 25, 283eqtrd 2809 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = 𝑁)
3029oveq2d 6809 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑁))
31 sadval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
32 sadval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3331, 32, 6sadcf 15383 . . . . . 6 (𝜑𝐶:ℕ0⟶2𝑜)
3433, 1ffvelrnd 6503 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ 2𝑜)
35 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
3635eleq1d 2835 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
3735eleq1d 2835 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐵𝑁𝐵))
38 simpl 468 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑥 = (𝐶𝑁))
3938eleq2d 2836 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
4036, 37, 39cadbi123d 1697 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
4140ifbid 4247 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
42 biidd 252 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑚𝐴))
43 biidd 252 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐵𝑚𝐵))
44 eleq2w 2834 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (∅ ∈ 𝑐 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
4542, 43, 44cadbi123d 1697 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
4645ifbid 4247 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅))
47 eleq1w 2833 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐴𝑦𝐴))
48 eleq1w 2833 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐵𝑦𝐵))
49 biidd 252 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
5047, 48, 49cadbi123d 1697 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
5150ifbid 4247 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅))
5246, 51cbvmpt2v 6882 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)) = (𝑥 ∈ 2𝑜, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅))
53 1oex 7721 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ V
5453, 16ifex 4295 . . . . . 6 if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) ∈ V
5541, 52, 54ovmpt2a 6938 . . . . 5 (((𝐶𝑁) ∈ 2𝑜𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
5634, 1, 55syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
5710, 30, 563eqtrd 2809 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
5857eleq2d 2836 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅)))
59 noel 4067 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ ∅
60 iffalse 4234 . . . . . 6 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) = ∅)
6160eleq2d 2836 . . . . 5 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) ↔ ∅ ∈ ∅))
6259, 61mtbiri 316 . . . 4 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ¬ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
6362con4i 114 . . 3 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) → cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
64 0lt1o 7738 . . . 4 ∅ ∈ 1𝑜
65 iftrue 4231 . . . 4 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
6664, 65syl5eleqr 2857 . . 3 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
6763, 66impbii 199 . 2 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
6858, 67syl6bb 276 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  caddwcad 1693  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  seqcseq 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-cad 1694  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  15387  sadadd2lem  15389  saddisjlem  15394
  Copyright terms: Public domain W3C validator