MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcp1 15797
Description: The carry sequence (which is a sequence of wffs, encoded as 1o and ) is defined recursively as the carry operation applied to the previous carry and the two current inputs. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcp1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12272 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2903 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 13383 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
6 sadval.c . . . . . 6 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
76fveq1i 6650 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6650 . . . . . 6 (𝐶𝑁) = (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)
98oveq1i 7149 . . . . 5 ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
11 peano2nn0 11929 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
12 eqeq1 2805 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 = 0 ↔ (𝑁 + 1) = 0))
13 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1412, 13ifbieq2d 4453 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 + 1) → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
15 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
16 0ex 5178 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
17 ovex 7172 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) − 1) ∈ V
1816, 17ifex 4476 . . . . . . . 8 if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ V
1914, 15, 18fvmpt 6749 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
201, 11, 193syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
21 nn0p1nn 11928 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
221, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 11679 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24 ifnefalse 4440 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ≠ 0 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
261nn0cnd 11949 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 1cnd 10629 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2826, 27pncand 10991 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2920, 25, 283eqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = 𝑁)
3029oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑁))
31 sadval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
32 sadval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3331, 32, 6sadcf 15795 . . . . . 6 (𝜑𝐶:ℕ0⟶2o)
3433, 1ffvelrnd 6833 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ 2o)
35 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
3635eleq1d 2877 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
3735eleq1d 2877 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐵𝑁𝐵))
38 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑥 = (𝐶𝑁))
3938eleq2d 2878 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
4036, 37, 39cadbi123d 1612 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
4140ifbid 4450 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
42 biidd 265 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑚𝐴))
43 biidd 265 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐵𝑚𝐵))
44 eleq2w 2876 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (∅ ∈ 𝑐 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
4542, 43, 44cadbi123d 1612 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
4645ifbid 4450 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) = if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅))
47 eleq1w 2875 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐴𝑦𝐴))
48 eleq1w 2875 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐵𝑦𝐵))
49 biidd 265 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
5047, 48, 49cadbi123d 1612 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
5150ifbid 4450 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅) = if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅))
5246, 51cbvmpov 7232 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ 2o, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅))
53 1oex 8097 . . . . . . 7 1o ∈ V
5453, 16ifex 4476 . . . . . 6 if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) ∈ V
5541, 52, 54ovmpoa 7288 . . . . 5 (((𝐶𝑁) ∈ 2o𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
5634, 1, 55syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
5710, 30, 563eqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
5857eleq2d 2878 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅)))
59 noel 4250 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ ∅
60 iffalse 4437 . . . . . 6 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) = ∅)
6160eleq2d 2878 . . . . 5 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) ↔ ∅ ∈ ∅))
6259, 61mtbiri 330 . . . 4 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ¬ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
6362con4i 114 . . 3 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) → cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
64 0lt1o 8116 . . . 4 ∅ ∈ 1o
65 iftrue 4434 . . . 4 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) = 1o)
6664, 65eleqtrrid 2900 . . 3 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
6763, 66impbii 212 . 2 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
6858, 67syl6bb 290 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  caddwcad 1608  wcel 2112  wne 2990  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  1oc1o 8082  2oc2o 8083  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  cmin 10863  cn 11629  0cn0 11889  cuz 12235  seqcseq 13368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  15799  sadadd2lem  15801  saddisjlem  15806
  Copyright terms: Public domain W3C validator