MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcp1 16332
Description: The carry sequence (which is a sequence of wffs, encoded as 1o and ) is defined recursively as the carry operation applied to the previous carry and the two current inputs. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcp1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12802 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 13918 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
6 sadval.c . . . . . 6 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
76fveq1i 6841 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6841 . . . . . 6 (𝐶𝑁) = (seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)
98oveq1i 7364 . . . . 5 ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2801 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
11 peano2nn0 12450 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
12 eqeq1 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 = 0 ↔ (𝑁 + 1) = 0))
13 oveq1 7361 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1412, 13ifbieq2d 4511 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 + 1) → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
16 0ex 5263 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
17 ovex 7387 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) − 1) ∈ V
1816, 17ifex 4535 . . . . . . . 8 if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ V
1914, 15, 18fvmpt 6946 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
201, 11, 193syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
21 nn0p1nn 12449 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
221, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 12200 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24 ifnefalse 4497 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ≠ 0 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
261nn0cnd 12472 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 1cnd 11147 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2826, 27pncand 11510 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2920, 25, 283eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = 𝑁)
3029oveq2d 7370 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑁))
31 sadval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
32 sadval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3331, 32, 6sadcf 16330 . . . . . 6 (𝜑𝐶:ℕ0⟶2o)
3433, 1ffvelcdmd 7033 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ 2o)
35 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
3635eleq1d 2822 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
3735eleq1d 2822 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐵𝑁𝐵))
38 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑥 = (𝐶𝑁))
3938eleq2d 2823 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
4036, 37, 39cadbi123d 1611 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
4140ifbid 4508 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
42 biidd 261 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑚𝐴))
43 biidd 261 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐵𝑚𝐵))
44 eleq2w 2821 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (∅ ∈ 𝑐 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
4542, 43, 44cadbi123d 1611 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
4645ifbid 4508 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) = if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅))
47 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐴𝑦𝐴))
48 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐵𝑦𝐵))
49 biidd 261 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
5047, 48, 49cadbi123d 1611 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
5150ifbid 4508 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅) = if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅))
5246, 51cbvmpov 7449 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ 2o, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1o, ∅))
53 1oex 8419 . . . . . . 7 1o ∈ V
5453, 16ifex 4535 . . . . . 6 if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) ∈ V
5541, 52, 54ovmpoa 7507 . . . . 5 (((𝐶𝑁) ∈ 2o𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
5634, 1, 55syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
5710, 30, 563eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
5857eleq2d 2823 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅)))
59 noel 4289 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ ∅
60 iffalse 4494 . . . . . 6 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) = ∅)
6160eleq2d 2823 . . . . 5 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) ↔ ∅ ∈ ∅))
6259, 61mtbiri 326 . . . 4 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ¬ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
6362con4i 114 . . 3 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) → cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
64 0lt1o 8447 . . . 4 ∅ ∈ 1o
65 iftrue 4491 . . . 4 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) = 1o)
6664, 65eleqtrrid 2845 . . 3 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅))
6763, 66impbii 208 . 2 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1o, ∅) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
6858, 67bitrdi 286 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  caddwcad 1607  wcel 2106  wne 2942  wss 3909  c0 4281  ifcif 4485  cmpt 5187  cfv 6494  (class class class)co 7354  cmpo 7356  1oc1o 8402  2oc2o 8403  0cc0 11048  1c1 11049   + caddc 11051  cmin 11382  cn 12150  0cn0 12410  cuz 12760  seqcseq 13903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-seq 13904
This theorem is referenced by:  sadcaddlem  16334  sadadd2lem  16336  saddisjlem  16341
  Copyright terms: Public domain W3C validator