Theorem omlsilem 29792

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
omlsilem.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
omlsilem.3	⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
omlsilem.4	⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
omlsilem.5	⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
omlsilem.6	⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
omlsilem.7	⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
3	1, 2	shelii 29605	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
6	4, 5	shelii 29605	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		shocss 29676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
10	8, 9	sselii 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
11	3, 6, 10	hvsubaddi 29456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
12		eqcom 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
13	11, 12	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
15	14, 5	sselii 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐻
16		shsubcl 29610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
17	1, 2, 15, 16	mp3an 1459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
18		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ↔ 𝐶 ∈ 𝐻))
19	17, 18	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐻)
20	13, 19	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐻)
21		omlsilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
22	21	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0ℋ)
23		elin 3905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24		elch0 29644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 0ℋ ↔ 𝐶 = 0ℎ)
25	22, 23, 24	3bitr3i 300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0ℎ)
26	20, 9, 25	sylanblc 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 = 0ℎ)
27	26	oveq2d 7311	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ 0ℎ))
28		ax-hvaddid 29394	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵)
29	6, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵
30	27, 29	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐵)
31	30, 5	eqeltrdi 2842	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺)
32		eleq1 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺))
33	31, 32	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   ℋchba 29309   +_ℎ cva 29310  0_ℎc0v 29314   −_ℎ cmv 29315   S_ℋ csh 29318  ⊥cort 29320  0_ℋc0h 29325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-hilex 29389  ax-hfvadd 29390  ax-hvcom 29391  ax-hvass 29392  ax-hv0cl 29393  ax-hvaddid 29394  ax-hfvmul 29395  ax-hvmulid 29396  ax-hvdistr2 29399  ax-hvmul0 29400  ax-hfi 29469  ax-his2 29473  ax-his3 29474

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-ltxr 11042  df-sub 11235  df-neg 11236  df-hvsub 29361  df-sh 29597  df-oc 29642  df-ch0 29643

This theorem is referenced by:  omlsii  29793