Theorem omlsilem 31421

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
omlsilem.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
omlsilem.3	⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
omlsilem.4	⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
omlsilem.5	⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
omlsilem.6	⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
omlsilem.7	⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
3	1, 2	shelii 31234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
6	4, 5	shelii 31234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		shocss 31305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
10	8, 9	sselii 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
11	3, 6, 10	hvsubaddi 31085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
12		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
15	14, 5	sselii 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐻
16		shsubcl 31239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
17	1, 2, 15, 16	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
18		eleq1 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ↔ 𝐶 ∈ 𝐻))
19	17, 18	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐻)
20	13, 19	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐻)
21		omlsilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
22	21	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0ℋ)
23		elin 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24		elch0 31273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 0ℋ ↔ 𝐶 = 0ℎ)
25	22, 23, 24	3bitr3i 301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0ℎ)
26	20, 9, 25	sylanblc 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 = 0ℎ)
27	26	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ 0ℎ))
28		ax-hvaddid 31023	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵)
29	6, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵
30	27, 29	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐵)
31	30, 5	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺)
32		eleq1 2829	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺))
33	31, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939  0_ℎc0v 30943   −_ℎ cmv 30944   S_ℋ csh 30947  ⊥cort 30949  0_ℋc0h 30954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his2 31102  ax-his3 31103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-oc 31271  df-ch0 31272

This theorem is referenced by:  omlsii  31422