HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsilem 30655
Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsilem.1 𝐺S
omlsilem.2 𝐻S
omlsilem.3 𝐺𝐻
omlsilem.4 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0
omlsilem.5 𝐴𝐻
omlsilem.6 𝐵𝐺
omlsilem.7 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
omlsilem (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴𝐺)

Proof of Theorem omlsilem
StepHypRef Expression
1 omlsilem.2 . . . . . . . . . 10 𝐻S
2 omlsilem.5 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐻
31, 2shelii 30468 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
4 omlsilem.1 . . . . . . . . . 10 𝐺S
5 omlsilem.6 . . . . . . . . . 10 𝐵𝐺
64, 5shelii 30468 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℋ
7 shocss 30539 . . . . . . . . . . 11 (𝐺S → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9 omlsilem.7 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
108, 9sselii 3980 . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℋ
113, 6, 10hvsubaddi 30319 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
12 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
1311, 12bitri 275 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
14 omlsilem.3 . . . . . . . . . 10 𝐺𝐻
1514, 5sselii 3980 . . . . . . . . 9 𝐵𝐻
16 shsubcl 30473 . . . . . . . . 9 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
171, 2, 15, 16mp3an 1462 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻
18 eleq1 2822 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 𝐵) ∈ 𝐻𝐶𝐻))
1917, 18mpbii 232 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) = 𝐶𝐶𝐻)
2013, 19sylbir 234 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐶𝐻)
21 omlsilem.4 . . . . . . . 8 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0
2221eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0)
23 elin 3965 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶𝐻𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24 elch0 30507 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ 0𝐶 = 0)
2522, 23, 243bitr3i 301 . . . . . 6 ((𝐶𝐻𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0)
2620, 9, 25sylanblc 590 . . . . 5 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐶 = 0)
2726oveq2d 7425 . . . 4 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐵 + 0))
28 ax-hvaddid 30257 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
296, 28ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 + 0) = 𝐵
3027, 29eqtrdi 2789 . . 3 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) = 𝐵)
3130, 5eqeltrdi 2842 . 2 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝐺)
32 eleq1 2822 . 2 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴𝐺 ↔ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝐺))
3331, 32mpbird 257 1 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3948  wss 3949  cfv 6544  (class class class)co 7409  chba 30172   + cva 30173  0c0v 30177   cmv 30178   S csh 30181  cort 30183  0c0h 30188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his2 30336  ax-his3 30337
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-hvsub 30224  df-sh 30460  df-oc 30505  df-ch0 30506
This theorem is referenced by:  omlsii  30656
  Copyright terms: Public domain W3C validator