Theorem omlsilem 31431

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
omlsilem.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
omlsilem.3	⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
omlsilem.4	⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
omlsilem.5	⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
omlsilem.6	⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
omlsilem.7	⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
3	1, 2	shelii 31244	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
6	4, 5	shelii 31244	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		shocss 31315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
10	8, 9	sselii 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
11	3, 6, 10	hvsubaddi 31095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
12		eqcom 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
15	14, 5	sselii 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐻
16		shsubcl 31249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
17	1, 2, 15, 16	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
18		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ↔ 𝐶 ∈ 𝐻))
19	17, 18	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐻)
20	13, 19	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐻)
21		omlsilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
22	21	eleq2i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0ℋ)
23		elin 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24		elch0 31283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 0ℋ ↔ 𝐶 = 0ℎ)
25	22, 23, 24	3bitr3i 301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0ℎ)
26	20, 9, 25	sylanblc 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 = 0ℎ)
27	26	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ 0ℎ))
28		ax-hvaddid 31033	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵)
29	6, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵
30	27, 29	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐵)
31	30, 5	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺)
32		eleq1 2827	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺))
33	31, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949  0_ℎc0v 30953   −_ℎ cmv 30954   S_ℋ csh 30957  ⊥cort 30959  0_ℋc0h 30964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his2 31112  ax-his3 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-oc 31281  df-ch0 31282

This theorem is referenced by:  omlsii  31432