HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsilem 31421
Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsilem.1 𝐺S
omlsilem.2 𝐻S
omlsilem.3 𝐺𝐻
omlsilem.4 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0
omlsilem.5 𝐴𝐻
omlsilem.6 𝐵𝐺
omlsilem.7 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
omlsilem (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴𝐺)

Proof of Theorem omlsilem
StepHypRef Expression
1 omlsilem.2 . . . . . . . . . 10 𝐻S
2 omlsilem.5 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐻
31, 2shelii 31234 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
4 omlsilem.1 . . . . . . . . . 10 𝐺S
5 omlsilem.6 . . . . . . . . . 10 𝐵𝐺
64, 5shelii 31234 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℋ
7 shocss 31305 . . . . . . . . . . 11 (𝐺S → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9 omlsilem.7 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
108, 9sselii 3980 . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℋ
113, 6, 10hvsubaddi 31085 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
12 eqcom 2744 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
1311, 12bitri 275 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
14 omlsilem.3 . . . . . . . . . 10 𝐺𝐻
1514, 5sselii 3980 . . . . . . . . 9 𝐵𝐻
16 shsubcl 31239 . . . . . . . . 9 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
171, 2, 15, 16mp3an 1463 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻
18 eleq1 2829 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 𝐵) ∈ 𝐻𝐶𝐻))
1917, 18mpbii 233 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) = 𝐶𝐶𝐻)
2013, 19sylbir 235 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐶𝐻)
21 omlsilem.4 . . . . . . . 8 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0
2221eleq2i 2833 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0)
23 elin 3967 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶𝐻𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24 elch0 31273 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ 0𝐶 = 0)
2522, 23, 243bitr3i 301 . . . . . 6 ((𝐶𝐻𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0)
2620, 9, 25sylanblc 589 . . . . 5 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐶 = 0)
2726oveq2d 7447 . . . 4 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐵 + 0))
28 ax-hvaddid 31023 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
296, 28ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 + 0) = 𝐵
3027, 29eqtrdi 2793 . . 3 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) = 𝐵)
3130, 5eqeltrdi 2849 . 2 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝐺)
32 eleq1 2829 . 2 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴𝐺 ↔ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝐺))
3331, 32mpbird 257 1 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939  0c0v 30943   cmv 30944   S csh 30947  cort 30949  0c0h 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his2 31102  ax-his3 31103
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990  df-sh 31226  df-oc 31271  df-ch0 31272
This theorem is referenced by:  omlsii  31422
  Copyright terms: Public domain W3C validator