Theorem omlsilem 31434

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
omlsilem.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
omlsilem.3	⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
omlsilem.4	⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
omlsilem.5	⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
omlsilem.6	⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
omlsilem.7	⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
3	1, 2	shelii 31247	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
6	4, 5	shelii 31247	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		shocss 31318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
10	8, 9	sselii 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
11	3, 6, 10	hvsubaddi 31098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
12		eqcom 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
15	14, 5	sselii 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐻
16		shsubcl 31252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
17	1, 2, 15, 16	mp3an 1461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
18		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ↔ 𝐶 ∈ 𝐻))
19	17, 18	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐻)
20	13, 19	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐻)
21		omlsilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
22	21	eleq2i 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0ℋ)
23		elin 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24		elch0 31286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 0ℋ ↔ 𝐶 = 0ℎ)
25	22, 23, 24	3bitr3i 301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0ℎ)
26	20, 9, 25	sylanblc 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 = 0ℎ)
27	26	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ 0ℎ))
28		ax-hvaddid 31036	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵)
29	6, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵
30	27, 29	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐵)
31	30, 5	eqeltrdi 2852	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺)
32		eleq1 2832	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺))
33	31, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952  0_ℎc0v 30956   −_ℎ cmv 30957   S_ℋ csh 30960  ⊥cort 30962  0_ℋc0h 30967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his2 31115  ax-his3 31116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-hvsub 31003  df-sh 31239  df-oc 31284  df-ch0 31285

This theorem is referenced by:  omlsii  31435