HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsilem 29488
Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsilem.1 𝐺S
omlsilem.2 𝐻S
omlsilem.3 𝐺𝐻
omlsilem.4 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0
omlsilem.5 𝐴𝐻
omlsilem.6 𝐵𝐺
omlsilem.7 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
omlsilem (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴𝐺)

Proof of Theorem omlsilem
StepHypRef Expression
1 omlsilem.2 . . . . . . . . . 10 𝐻S
2 omlsilem.5 . . . . . . . . . 10 𝐴𝐻
31, 2shelii 29301 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℋ
4 omlsilem.1 . . . . . . . . . 10 𝐺S
5 omlsilem.6 . . . . . . . . . 10 𝐵𝐺
64, 5shelii 29301 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℋ
7 shocss 29372 . . . . . . . . . . 11 (𝐺S → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9 omlsilem.7 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
108, 9sselii 3902 . . . . . . . . 9 𝐶 ∈ ℋ
113, 6, 10hvsubaddi 29152 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
12 eqcom 2744 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
1311, 12bitri 278 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
14 omlsilem.3 . . . . . . . . . 10 𝐺𝐻
1514, 5sselii 3902 . . . . . . . . 9 𝐵𝐻
16 shsubcl 29306 . . . . . . . . 9 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
171, 2, 15, 16mp3an 1463 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻
18 eleq1 2825 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 𝐵) ∈ 𝐻𝐶𝐻))
1917, 18mpbii 236 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐵) = 𝐶𝐶𝐻)
2013, 19sylbir 238 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐶𝐻)
21 omlsilem.4 . . . . . . . 8 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0
2221eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0)
23 elin 3887 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶𝐻𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24 elch0 29340 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ 0𝐶 = 0)
2522, 23, 243bitr3i 304 . . . . . 6 ((𝐶𝐻𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0)
2620, 9, 25sylanblc 592 . . . . 5 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐶 = 0)
2726oveq2d 7234 . . . 4 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐵 + 0))
28 ax-hvaddid 29090 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
296, 28ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 + 0) = 𝐵
3027, 29eqtrdi 2794 . . 3 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) = 𝐵)
3130, 5eqeltrdi 2846 . 2 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝐺)
32 eleq1 2825 . 2 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴𝐺 ↔ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝐺))
3331, 32mpbird 260 1 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cin 3870  wss 3871  cfv 6385  (class class class)co 7218  chba 29005   + cva 29006  0c0v 29010   cmv 29011   S csh 29014  cort 29016  0c0h 29021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-hilex 29085  ax-hfvadd 29086  ax-hvcom 29087  ax-hvass 29088  ax-hv0cl 29089  ax-hvaddid 29090  ax-hfvmul 29091  ax-hvmulid 29092  ax-hvdistr2 29095  ax-hvmul0 29096  ax-hfi 29165  ax-his2 29169  ax-his3 29170
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-op 4553  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-id 5460  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-er 8396  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-ltxr 10877  df-sub 11069  df-neg 11070  df-hvsub 29057  df-sh 29293  df-oc 29338  df-ch0 29339
This theorem is referenced by:  omlsii  29489
  Copyright terms: Public domain W3C validator