Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-addlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-addlid 41959
Description: addlid 11427 without ax-mulcom 11202. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-addlid (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem sn-addlid
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11241 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
2 0cnd 11237 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
3 simp2l 1197 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
43recnd 11272 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5 ax-icn 11197 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
7 simp2r 1198 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
87recnd 11272 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
96, 8mulcld 11264 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
102, 4, 9addassd 11266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 + ๐‘ฅ) + (i ยท ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
11 readdlid 41958 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (0 + ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 + ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
13123ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
1413oveq1d 7435 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 + ๐‘ฅ) + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1510, 14eqtr3d 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
16 simp3 1136 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1716oveq2d 7436 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + ๐ด) = (0 + (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1815, 17, 163eqtr4d 2778 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)
19183exp 1117 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)))
2019rexlimdvv 3207 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด))
211, 20mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3067  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-resub 41921
This theorem is referenced by:  sn-it0e0  41970  sn-negex12  41971  sn-addcand  41974  sn-subeu  41981  sn-0tie0  41994  cnreeu  42023
  Copyright terms: Public domain W3C validator