Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-addlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-addlid 41827
Description: addlid 11396 without ax-mulcom 11171. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-addlid (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)

Proof of Theorem sn-addlid
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11210 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
2 0cnd 11206 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
3 simp2l 1196 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
43recnd 11241 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5 ax-icn 11166 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
7 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
87recnd 11241 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
96, 8mulcld 11233 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
102, 4, 9addassd 11235 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 + ๐‘ฅ) + (i ยท ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
11 readdlid 41826 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (0 + ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 + ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
1413oveq1d 7417 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((0 + ๐‘ฅ) + (i ยท ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1510, 14eqtr3d 2766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
16 simp3 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1716oveq2d 7418 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + ๐ด) = (0 + (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
1815, 17, 163eqtr4d 2774 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)
19183exp 1116 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)))
2019rexlimdvv 3202 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด))
211, 20mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + ๐ด) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-resub 41789
This theorem is referenced by:  sn-it0e0  41838  sn-negex12  41839  sn-addcand  41842  sn-subeu  41849  sn-0tie0  41862  cnreeu  41891
  Copyright terms: Public domain W3C validator