Theorem sn-addlid 43287

Description: addlid 11421 without ax-mulcom 11192. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-addlid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem sn-addlid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		0cnd 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 0 ∈ ℂ)
3		simp2l 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		ax-icn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → i ∈ ℂ)
7		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10	2, 4, 9	addassd 11259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((0 + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
11		readdlid 43286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
14	13	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((0 + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
15	10, 14	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
17	16	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + 𝐴) = (0 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
18	15, 17, 16	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
19	18	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)))
20	19	rexlimdvv 3220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 + 𝐴) = 𝐴))
21	1, 20	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  ici 11130   + caddc 11131   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-resub 43249

This theorem is used by:  sn-it0e0  43299  sn-negex12  43300  sn-addcand  43303  sn-subeu  43310  sn-0tie0  43347  cnreeu  43386