Theorem zaddcomlem 42714

Description: Lemma for zaddcom 42715. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rernegcl 42622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 5, 7	addassd 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)))
9		renegid2 42665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)) = (𝐵 + 0))
12		nn0re 12410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		readdrid 42661	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
16	8, 11, 15	3eqtrrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
17	9	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
19		readdlid 42654	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
20	12, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	18, 20	sylan9eq 2791	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = 𝐵)
22		nnnn0 12408	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0)
23		nn0addcom 42713	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
25	24	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
26	25	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
27	16, 21, 26	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴))
28	5, 7, 2	addassd 11154	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
29	5, 2, 7	addassd 11154	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
31	7, 2	addcld 11151	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	2, 7	addcld 11151	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 31, 32	sn-addcand 42671	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
34	30, 33	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401   −_ℝ cresub 42616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-resub 42617

This theorem is referenced by:  zaddcom  42715