Theorem zaddcomlem 42451

Description: Lemma for zaddcom 42452. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12505	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rernegcl 42359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 5, 7	addassd 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)))
9		renegid2 42402	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)) = (𝐵 + 0))
12		nn0re 12451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		readdrid 42398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
16	8, 11, 15	3eqtrrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
17	9	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
19		readdlid 42391	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
20	12, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	18, 20	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = 𝐵)
22		nnnn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0)
23		nn0addcom 42450	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
25	24	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
26	25	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
27	16, 21, 26	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴))
28	5, 7, 2	addassd 11196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
29	5, 2, 7	addassd 11196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
31	7, 2	addcld 11193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	2, 7	addcld 11193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 31, 32	sn-addcand 42408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
34	30, 33	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442   −_ℝ cresub 42353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-resub 42354

This theorem is referenced by:  zaddcom  42452