Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zaddcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcomlem 41106
Description: Lemma for zaddcom 41107. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
zaddcomlem (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
21nn0cnd 12516 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 rernegcl 41026 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
43ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11224 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
6 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 11224 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
82, 5, 7addassd 11218 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + (0 − 𝐴)) + 𝐴) = (𝐵 + ((0 − 𝐴) + 𝐴)))
9 renegid2 41068 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
109ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1110oveq2d 7409 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + ((0 − 𝐴) + 𝐴)) = (𝐵 + 0))
12 nn0re 12463 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
13 readdrid 41064 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
1514adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
168, 11, 153eqtrrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = ((𝐵 + (0 − 𝐴)) + 𝐴))
179oveq1d 7408 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
19 readdlid 41058 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2012, 19syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2118, 20sylan9eq 2791 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = 𝐵)
22 nnnn0 12461 . . . . . . 7 ((0 − 𝐴) ∈ ℕ → (0 − 𝐴) ∈ ℕ0)
23 nn0addcom 41105 . . . . . . 7 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 − 𝐴)))
2422, 23sylan 580 . . . . . 6 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 − 𝐴)))
2524adantll 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 − 𝐴)))
2625oveq1d 7408 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 − 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((𝐵 + (0 − 𝐴)) + 𝐴))
2716, 21, 263eqtr4d 2781 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (((0 − 𝐴) + 𝐵) + 𝐴))
285, 7, 2addassd 11218 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
295, 2, 7addassd 11218 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 − 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 − 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
3027, 28, 293eqtr3d 2779 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
317, 2addcld 11215 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
322, 7addcld 11215 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
335, 31, 32sn-addcand 41074 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
3430, 33mpbid 231 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092   + caddc 11095  cn 12194  0cn0 12454   cresub 41020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-resub 41021
This theorem is referenced by:  zaddcom  41107
  Copyright terms: Public domain W3C validator