Theorem zaddcomlem 41813

Description: Lemma for zaddcom 41814. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rernegcl 41733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
6		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 5, 7	addassd 11233	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)))
9		renegid2 41775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
10	9	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	oveq2d 7417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)) = (𝐵 + 0))
12		nn0re 12478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		readdrid 41771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
16	8, 11, 15	3eqtrrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
17	9	oveq1d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
19		readdlid 41765	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
20	12, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	18, 20	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = 𝐵)
22		nnnn0 12476	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0)
23		nn0addcom 41812	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
24	22, 23	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
25	24	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
26	25	oveq1d 7416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
27	16, 21, 26	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴))
28	5, 7, 2	addassd 11233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
29	5, 2, 7	addassd 11233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
31	7, 2	addcld 11230	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	2, 7	addcld 11230	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 31, 32	sn-addcand 41781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
34	30, 33	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469   −_ℝ cresub 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-resub 41728

This theorem is referenced by:  zaddcom  41814