Theorem zaddcomlem 42458

Description: Lemma for zaddcom 42459. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rernegcl 42366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 5, 7	addassd 11203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)))
9		renegid2 42409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)) = (𝐵 + 0))
12		nn0re 12458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		readdrid 42405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
16	8, 11, 15	3eqtrrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
17	9	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
19		readdlid 42398	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
20	12, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	18, 20	sylan9eq 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = 𝐵)
22		nnnn0 12456	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0)
23		nn0addcom 42457	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
25	24	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
26	25	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
27	16, 21, 26	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴))
28	5, 7, 2	addassd 11203	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
29	5, 2, 7	addassd 11203	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
31	7, 2	addcld 11200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	2, 7	addcld 11200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 31, 32	sn-addcand 42415	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
34	30, 33	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449   −_ℝ cresub 42360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-resub 42361

This theorem is referenced by:  zaddcom  42459