Theorem zaddcomlem 42495

Description: Lemma for zaddcom 42496. (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcomlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rernegcl 42403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
6		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 5, 7	addassd 11131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)))
9		renegid2 42446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴)) = (𝐵 + 0))
12		nn0re 12387	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		readdrid 42442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
16	8, 11, 15	3eqtrrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
17	9	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
19		readdlid 42435	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
20	12, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	18, 20	sylan9eq 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = 𝐵)
22		nnnn0 12385	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0)
23		nn0addcom 42494	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
25	24	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)))
26	25	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((𝐵 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
27	16, 21, 26	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴))
28	5, 7, 2	addassd 11131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
29	5, 2, 7	addassd 11131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
30	27, 28, 29	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)))
31	7, 2	addcld 11128	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	2, 7	addcld 11128	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
33	5, 31, 32	sn-addcand 42452	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
34	30, 33	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378   −_ℝ cresub 42397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-resub 42398

This theorem is referenced by:  zaddcom  42496