Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zaddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcom 41326
Description: Addition is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zaddcom ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcom
StepHypRef Expression
1 reelznn0nn 41323 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)))
2 reelznn0nn 41323 . 2 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)))
3 nn0addcom 41324 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4 zaddcomlem 41325 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5 zaddcomlem 41325 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
65eqcomd 2738 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
76ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8 renegid2 41287 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − 𝐵) + 𝐵) = 0)
98ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + 𝐵) = 0)
10 renegid2 41287 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1211oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
13 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℕ)
1413nncnd 12227 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
15 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1817recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1914, 16, 18addassd 11235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20 readdlid 41277 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2212, 19, 213eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
2322oveq2d 7424 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 − 𝐵) + 𝐵))
249, 23, 113eqtr4d 2782 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 − 𝐴) + 𝐴))
25 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℕ)
2625nncnd 12227 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℂ)
2716, 18addcld 11232 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2826, 14, 27addassd 11235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
299oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
3026, 18, 16addassd 11235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)))
31 readdlid 41277 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3329, 30, 323eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)) = 𝐴)
3433oveq2d 7424 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))) = ((0 − 𝐴) + 𝐴))
3524, 28, 343eqtr4d 2782 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
36 nnaddcom 41184 . . . . . . 7 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)))
3736ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)))
3837oveq1d 7423 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)))
3918, 16addcld 11232 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
4014, 26, 39addassd 11235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr4d 2782 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)))
4213, 25nnaddcld 12263 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) ∈ ℕ)
4342nncnd 12227 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) ∈ ℂ)
4443, 27, 39sn-addcand 41293 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
4541, 44mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
463, 4, 7, 45ccase 1036 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
471, 2, 46syl2anb 598 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7408  cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  cn 12211  0cn0 12471  cz 12557   cresub 41239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-resub 41240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator