Theorem zaddcom 42457

Description: Addition is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11092. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 42454	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 42454	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0addcom 42455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		zaddcomlem 42456	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5		zaddcomlem 42456	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8		renegid2 42407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) = 0)
9	8	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) = 0)
10		renegid2 42407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
12	11	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
13		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
15		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	14, 16, 18	addassd 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		readdlid 42396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	20	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
22	12, 19, 21	3eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
23	22	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵))
24	9, 23, 11	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴))
25		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	16, 18	addcld 11153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28	26, 14, 27	addassd 11156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
29	9	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
30	26, 18, 16	addassd 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)))
31		readdlid 42396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
33	29, 30, 32	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)) = 𝐴)
34	33	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
36		nnaddcom 42261	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)))
37	36	ad2ant2l 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)))
38	37	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)))
39	18, 16	addcld 11153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
40	14, 26, 39	addassd 11156	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)))
42	13, 25	nnaddcld 12199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12163	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℂ)
44	43, 27, 39	sn-addcand 42413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
45	41, 44	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
46	3, 4, 7, 45	ccase 1037	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
47	1, 2, 46	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490   −_ℝ cresub 42358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-resub 42359

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