Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zaddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcom 41885
Description: Addition is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11173. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zaddcom ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcom
StepHypRef Expression
1 reelznn0nn 41882 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)))
2 reelznn0nn 41882 . 2 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)))
3 nn0addcom 41883 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4 zaddcomlem 41884 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5 zaddcomlem 41884 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
65eqcomd 2732 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
76ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8 renegid2 41846 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − 𝐵) + 𝐵) = 0)
98ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + 𝐵) = 0)
10 renegid2 41846 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1110ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1211oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
13 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℕ)
1413nncnd 12229 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
15 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 11243 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1817recnd 11243 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1914, 16, 18addassd 11237 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20 readdlid 41836 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2120ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2212, 19, 213eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
2322oveq2d 7420 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 − 𝐵) + 𝐵))
249, 23, 113eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 − 𝐴) + 𝐴))
25 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℕ)
2625nncnd 12229 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℂ)
2716, 18addcld 11234 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2826, 14, 27addassd 11237 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
299oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
3026, 18, 16addassd 11237 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)))
31 readdlid 41836 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3231ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3329, 30, 323eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)) = 𝐴)
3433oveq2d 7420 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))) = ((0 − 𝐴) + 𝐴))
3524, 28, 343eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
36 nnaddcom 41721 . . . . . . 7 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)))
3736ad2ant2l 743 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)))
3837oveq1d 7419 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)))
3918, 16addcld 11234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
4014, 26, 39addassd 11237 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)))
4213, 25nnaddcld 12265 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) ∈ ℕ)
4342nncnd 12229 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) ∈ ℂ)
4443, 27, 39sn-addcand 41852 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
4541, 44mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
463, 4, 7, 45ccase 1034 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
471, 2, 46syl2anb 597 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  cn 12213  0cn0 12473  cz 12559   cresub 41798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-resub 41799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator