Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zaddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcom 42038
Description: Addition is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
zaddcom ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcom
StepHypRef Expression
1 reelznn0nn 42035 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)))
2 reelznn0nn 42035 . 2 (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)))
3 nn0addcom 42036 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4 zaddcomlem 42037 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5 zaddcomlem 42037 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
65eqcomd 2734 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
76ancoms 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8 renegid2 41999 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 − 𝐵) + 𝐵) = 0)
98ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + 𝐵) = 0)
10 renegid2 41999 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
1211oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
13 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℕ)
1413nncnd 12266 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
15 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1615recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1817recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1914, 16, 18addassd 11274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20 readdlid 41989 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2120ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
2212, 19, 213eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
2322oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 − 𝐵) + 𝐵))
249, 23, 113eqtr4d 2778 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 − 𝐴) + 𝐴))
25 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℕ)
2625nncnd 12266 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 − 𝐵) ∈ ℂ)
2716, 18addcld 11271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2826, 14, 27addassd 11274 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + ((0 − 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
299oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
3026, 18, 16addassd 11274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)))
31 readdlid 41989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
3329, 30, 323eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)) = 𝐴)
3433oveq2d 7442 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))) = ((0 − 𝐴) + 𝐴))
3524, 28, 343eqtr4d 2778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
36 nnaddcom 41874 . . . . . . 7 (((0 − 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)))
3736ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) = ((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)))
3837oveq1d 7441 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐵) + (0 − 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)))
3918, 16addcld 11271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
4014, 26, 39addassd 11274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) = ((0 − 𝐴) + ((0 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr4d 2778 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)))
4213, 25nnaddcld 12302 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) ∈ ℕ)
4342nncnd 12266 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) ∈ ℂ)
4443, 27, 39sn-addcand 42005 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → ((((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 − 𝐴) + (0 − 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
4541, 44mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
463, 4, 7, 45ccase 1035 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
471, 2, 46syl2anb 596 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596   cresub 41951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-resub 41952
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator