Theorem zaddcom 42038

Description: Addition is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11210. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 42035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 42035	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0addcom 42036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		zaddcomlem 42037	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5		zaddcomlem 42037	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	6	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8		renegid2 41999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) = 0)
9	8	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) = 0)
10		renegid2 41999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
12	11	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
13		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
15		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	14, 16, 18	addassd 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		readdlid 41989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	20	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
22	12, 19, 21	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
23	22	oveq2d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵))
24	9, 23, 11	3eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴))
25		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	16, 18	addcld 11271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28	26, 14, 27	addassd 11274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
29	9	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
30	26, 18, 16	addassd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)))
31		readdlid 41989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
32	31	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
33	29, 30, 32	3eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)) = 𝐴)
34	33	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
36		nnaddcom 41874	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)))
37	36	ad2ant2l 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)))
38	37	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)))
39	18, 16	addcld 11271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
40	14, 26, 39	addassd 11274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)))
42	13, 25	nnaddcld 12302	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12266	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℂ)
44	43, 27, 39	sn-addcand 42005	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
45	41, 44	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
46	3, 4, 7, 45	ccase 1035	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
47	1, 2, 46	syl2anb 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596   −_ℝ cresub 41951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-resub 41952

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