Theorem zaddcom 42428

Description: Addition is commutative for integers. Proven without ax-mulcom 11248. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem zaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelznn0nn 42425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)))
2		reelznn0nn 42425	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)))
3		nn0addcom 42426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4		zaddcomlem 42427	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
5		zaddcomlem 42427	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8		renegid2 42389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) = 0)
9	8	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) = 0)
10		renegid2 42389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)
12	11	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
13		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
15		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	14, 16, 18	addassd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		readdlid 42379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 + 𝐵) = 𝐵)
21	20	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
22	12, 19, 21	3eqtr3d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)) = 𝐵)
23	22	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵))
24	9, 23, 11	3eqtr4d 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴))
25		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)
26	25	nncnd 12309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
27	16, 18	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28	26, 14, 27	addassd 11312	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
29	9	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
30	26, 18, 16	addassd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + 𝐵) + 𝐴) = ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)))
31		readdlid 42379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
33	29, 30, 32	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴)) = 𝐴)
34	33	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
36		nnaddcom 42257	. . . . . . 7 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)))
37	36	ad2ant2l 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) = ((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)))
38	37	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐵) + (0 −ℝ 𝐴)) + (𝐴 + 𝐵)))
39	18, 16	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℂ)
40	14, 26, 39	addassd 11312	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) = ((0 −ℝ 𝐴) + ((0 −ℝ 𝐵) + (𝐵 + 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)))
42	13, 25	nnaddcld 12345	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℕ)
43	42	nncnd 12309	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) ∈ ℂ)
44	43, 27, 39	sn-addcand 42395	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → ((((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐴 + 𝐵)) = (((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 + 𝐴)) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)))
45	41, 44	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
46	3, 4, 7, 45	ccase 1038	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∨ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐵) ∈ ℕ))) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
47	1, 2, 46	syl2anb 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-resub 42342

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