Theorem sn-msqgt0d 42778

Description: A nonzero square is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-msqgt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-msqgt0d.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-msqgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sn-msqgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-msqgt0d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
4	2, 2, 3, 3	sn-mullt0d 42777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
5	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7	5, 5, 6, 6	mulgt0d 11290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
8		sn-msqgt0d.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9		0red 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10	1, 9	lttri2d 11274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
11	8, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
12	4, 7, 11	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-2 12210  df-3 12211  df-resub 42658  df-rediv 42733

This theorem is referenced by:  sn-inelr  42779