Theorem sn-msqgt0d 43478

Description: A nonzero square is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-msqgt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-msqgt0d.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-msqgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sn-msqgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-msqgt0d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
4	2, 2, 3, 3	sn-mullt0d 43477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
5	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7	5, 5, 6, 6	mulgt0d 11436	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
8		sn-msqgt0d.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9		0red 11282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10	1, 9	lttri2d 11420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
11	8, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
12	4, 7, 11	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  0cc0 11171   · cmul 11176   < clt 11314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-2 12374  df-3 12375  df-resub 43345  df-rediv 43420

This theorem is used by:  sn-inelr  43479