Theorem sn-msqgt0d 42949

Description: A nonzero square is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-msqgt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-msqgt0d.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-msqgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sn-msqgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-msqgt0d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
4	2, 2, 3, 3	sn-mullt0d 42948	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
5	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
7	5, 5, 6, 6	mulgt0d 11296	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
8		sn-msqgt0d.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9		0red 11142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10	1, 9	lttri2d 11280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
11	8, 10	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
12	4, 7, 11	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033   · cmul 11038   < clt 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-2 12239  df-3 12240  df-resub 42816  df-rediv 42891

This theorem is referenced by:  sn-inelr  42950