Theorem sn-mullt0d 42807

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-mullt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
sn-mullt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem sn-mullt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-mullt0d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		sn-mullt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	lt0ne0d 11706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		sn-mullt0d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sn-mullt0d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 42730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12	11	neqcomd 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 = (𝐴 · 𝐵))
13		0red 11139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14	9, 13, 3	ltnsymd 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
15	8, 9, 1	mullt0b1d 42805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
16	14, 15	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
17		ioran 986	. . 3 ⊢ (¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0) ↔ (¬ 0 = (𝐴 · 𝐵) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	12, 16, 17	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0))
19	8, 9	remulcld 11166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
20	13, 19	lttrid 11275	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
21	18, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   · cmul 11035   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-2 12212  df-3 12213  df-resub 42688  df-rediv 42763

This theorem is referenced by:  sn-msqgt0d  42808