Theorem sn-mullt0d 43287

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-mullt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
sn-mullt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem sn-mullt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-mullt0d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		sn-mullt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	lt0ne0d 11785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		sn-mullt0d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sn-mullt0d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 43197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12	11	neqcomd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 = (𝐴 · 𝐵))
13		0red 11217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14	9, 13, 3	ltnsymd 11365	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
15	8, 9, 1	mullt0b1d 43285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
16	14, 15	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
17		ioran 998	. . 3 ⊢ (¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0) ↔ (¬ 0 = (𝐴 · 𝐵) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	12, 16, 17	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0))
19	8, 9	remulcld 11245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
20	13, 19	lttrid 11354	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
21	18, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-2 12309  df-3 12310  df-resub 43155  df-rediv 43230

This theorem is used by:  sn-msqgt0d  43288