Theorem sn-mullt0d 42466

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-mullt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
sn-mullt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem sn-mullt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-mullt0d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		sn-mullt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	lt0ne0d 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		sn-mullt0d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sn-mullt0d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 42389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12	11	neqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 = (𝐴 · 𝐵))
13		0red 11153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14	9, 13, 3	ltnsymd 11299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
15	8, 9, 1	mullt0b1d 42464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
16	14, 15	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
17		ioran 985	. . 3 ⊢ (¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0) ↔ (¬ 0 = (𝐴 · 𝐵) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	12, 16, 17	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0))
19	8, 9	remulcld 11180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
20	13, 19	lttrid 11288	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
21	18, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   · cmul 11049   < clt 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-2 12225  df-3 12226  df-resub 42347  df-rediv 42422

This theorem is referenced by:  sn-msqgt0d  42467