Theorem sn-mullt0d 43550

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by SN, 1-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-mullt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-mullt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
sn-mullt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-mullt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem sn-mullt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-mullt0d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		sn-mullt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
4	3	lt0ne0d 11881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		sn-mullt0d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sn-mullt0d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 43460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12	11	neqcomd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 = (𝐴 · 𝐵))
13		0red 11311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
14	9, 13, 3	ltnsymd 11459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐵)
15	8, 9, 1	mullt0b1d 43548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
16	14, 15	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
17		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0) ↔ (¬ 0 = (𝐴 · 𝐵) ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	12, 16, 17	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0))
19	8, 9	remulcld 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
20	13, 19	lttrid 11448	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (0 = (𝐴 · 𝐵) ∨ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
21	18, 20	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205   < clt 11343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-2 12405  df-3 12406  df-resub 43418  df-rediv 43493

This theorem is used by:  sn-msqgt0d  43551