Theorem elfzd 13648

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 525	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13647	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7421   ≤ cle 11345  ℤcz 12694  ...cfz 13640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-neg 11545  df-z 12695  df-fz 13641

This theorem is used by:  ssfzunsnext  13704  fzoun  13832  seqf1olem1  14185  bcval5  14463  hashdvds  16953  prmreclem5  17099  chnpolfz  18808  basellem3  27411  bcmono  27605  lgseisenlem1  27703  lgsquadlem1  27708  wwlksnextproplem2  30500  pfxlsw2ccat  33514  wrdt2ind  33517  gsumwrd2dccatlem  33639  cyc3conja  33719  selvply1rhmlemb  34152  rtelextdg2  34360  submateqlem1  34440  oddpwdc  34987  ballotlemsdom  35145  ballotlemsel1i  35146  ballotlemsima  35149  ballotlemfrcn0  35163  fsum2dsub  35237  circlemeth  35270  itg2addnclem2  38592  fzsplitnr  43035  lcmineqlem18  43098  aks4d1p5  43132  aks4d1p8  43139  aks4d1p9  43140  aks6d1c1  43168  aks6d1c5lem1  43188  2np3bcnp1  43196  sticksstones6  43203  sticksstones7  43204  sticksstones10  43207  sticksstones12a  43209  sticksstones12  43210  sticksstones22  43220  aks6d1c6lem4  43225  bcled  43230  bcle2d  43231  grpods  43246  unitscyglem2  43248  unitscyglem4  43250  fzsplit1nn0  43766  irrapxlem3  43832  jm2.23  44004  binomcxplemnn0  45334  monoords  46314  uzfissfz  46339  iuneqfzuzlem  46347  ssuzfz  46362  uzublem  46441  fmul01  46593  fmuldfeq  46596  fmul01lt1lem1  46597  fmul01lt1lem2  46598  mccllem  46610  sumnnodd  46643  limsupubuzlem  46723  dvnmul  46954  dvnprodlem1  46957  dvnprodlem2  46958  iblspltprt  46984  itgspltprt  46990  stoweidlem3  47014  stoweidlem20  47031  stoweidlem26  47037  stoweidlem34  47045  stoweidlem51  47062  fourierdlem11  47129  fourierdlem12  47130  fourierdlem14  47132  fourierdlem15  47133  fourierdlem41  47159  fourierdlem48  47165  fourierdlem49  47166  fourierdlem50  47167  fourierdlem79  47196  fourierdlem92  47209  fourierdlem93  47210  elaa2lem  47244  etransclem3  47248  etransclem7  47252  etransclem27  47272  etransclem28  47273  etransclem35  47280  etransclem38  47283  etransclem44  47289  iundjiun  47471  caratheodorylem1  47537  gpgedgvtx1  49161  veronesev1lem  50974  veronesev2lem  50975  veronesev3lem  50976  veronesev4lem  50977  veronesev5lem  50978  veronesev6lem  50979