Theorem elfzd 13247

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 516	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13246	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-neg 11208  df-z 12320  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13301  fzoun  13424  seqf1olem1  13762  bcval5  14032  hashdvds  16476  prmreclem5  16621  basellem3  26232  bcmono  26425  lgseisenlem1  26523  lgsquadlem1  26528  wwlksnextproplem2  28275  pfxlsw2ccat  31224  wrdt2ind  31225  cyc3conja  31424  submateqlem1  31757  oddpwdc  32321  ballotlemsdom  32478  ballotlemsel1i  32479  ballotlemsima  32482  ballotlemfrcn0  32496  fsum2dsub  32587  circlemeth  32620  itg2addnclem2  35829  fzsplitnr  39992  lcmineqlem18  40054  aks4d1p5  40088  aks4d1p8  40095  aks4d1p9  40096  2np3bcnp1  40100  sticksstones6  40107  sticksstones7  40108  sticksstones10  40111  sticksstones12a  40113  sticksstones12  40114  sticksstones22  40124  metakunt1  40125  metakunt2  40126  metakunt5  40129  metakunt10  40134  metakunt15  40139  metakunt16  40140  metakunt21  40145  metakunt22  40146  metakunt24  40148  metakunt26  40150  metakunt28  40152  metakunt29  40153  metakunt30  40154  prodsplit  40161  fzsplit1nn0  40576  irrapxlem3  40646  jm2.23  40818  binomcxplemnn0  41967  monoords  42836  uzfissfz  42865  iuneqfzuzlem  42873  ssuzfz  42888  uzublem  42970  fmul01  43121  fmuldfeq  43124  fmul01lt1lem1  43125  fmul01lt1lem2  43126  mccllem  43138  sumnnodd  43171  limsupubuzlem  43253  dvnmul  43484  dvnprodlem1  43487  dvnprodlem2  43488  iblspltprt  43514  itgspltprt  43520  stoweidlem3  43544  stoweidlem20  43561  stoweidlem26  43567  stoweidlem34  43575  stoweidlem51  43592  fourierdlem11  43659  fourierdlem12  43660  fourierdlem14  43662  fourierdlem15  43663  fourierdlem41  43689  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem50  43697  fourierdlem79  43726  fourierdlem92  43739  fourierdlem93  43740  elaa2lem  43774  etransclem3  43778  etransclem7  43782  etransclem27  43802  etransclem28  43803  etransclem35  43810  etransclem38  43813  etransclem44  43819  iundjiun  43998  caratheodorylem1  44064