Theorem elfzd 13460

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13459	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356   ≤ cle 11171  ℤcz 12515  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11371  df-z 12516  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13514  fzoun  13642  seqf1olem1  13994  bcval5  14271  hashdvds  16736  prmreclem5  16882  chnpolfz  18590  basellem3  27064  bcmono  27258  lgseisenlem1  27356  lgsquadlem1  27361  wwlksnextproplem2  29996  pfxlsw2ccat  33029  wrdt2ind  33032  gsumwrd2dccatlem  33158  cyc3conja  33238  selvply1rhmlemb  33703  rtelextdg2  33911  submateqlem1  33991  oddpwdc  34538  ballotlemsdom  34696  ballotlemsel1i  34697  ballotlemsima  34700  ballotlemfrcn0  34714  fsum2dsub  34791  circlemeth  34824  itg2addnclem2  38039  fzsplitnr  42468  lcmineqlem18  42531  aks4d1p5  42565  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  aks6d1c1  42601  aks6d1c5lem1  42621  2np3bcnp1  42629  sticksstones6  42636  sticksstones7  42637  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  sticksstones22  42653  aks6d1c6lem4  42658  bcled  42663  bcle2d  42664  grpods  42679  unitscyglem2  42681  unitscyglem4  42683  fzsplit1nn0  43203  irrapxlem3  43269  jm2.23  43441  binomcxplemnn0  44793  monoords  45745  uzfissfz  45771  iuneqfzuzlem  45779  ssuzfz  45794  uzublem  45873  fmul01  46025  fmuldfeq  46028  fmul01lt1lem1  46029  fmul01lt1lem2  46030  mccllem  46042  sumnnodd  46075  limsupubuzlem  46155  dvnmul  46386  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  iblspltprt  46416  itgspltprt  46422  stoweidlem3  46446  stoweidlem20  46463  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  stoweidlem51  46494  fourierdlem11  46561  fourierdlem12  46562  fourierdlem14  46564  fourierdlem15  46565  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem50  46599  fourierdlem79  46628  fourierdlem92  46641  fourierdlem93  46642  elaa2lem  46676  etransclem3  46680  etransclem7  46684  etransclem27  46704  etransclem28  46705  etransclem35  46712  etransclem38  46715  etransclem44  46721  iundjiun  46903  caratheodorylem1  46969  gpgedgvtx1  48553