Theorem elfzd 13647

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 525	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13646	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-fz 13640

This theorem is used by:  ssfzunsnext  13703  fzoun  13831  seqf1olem1  14184  bcval5  14462  hashdvds  16952  prmreclem5  17098  chnpolfz  18807  basellem3  27410  bcmono  27604  lgseisenlem1  27702  lgsquadlem1  27707  wwlksnextproplem2  30499  pfxlsw2ccat  33513  wrdt2ind  33516  gsumwrd2dccatlem  33638  cyc3conja  33718  selvply1rhmlemb  34151  rtelextdg2  34359  submateqlem1  34439  oddpwdc  34986  ballotlemsdom  35144  ballotlemsel1i  35145  ballotlemsima  35148  ballotlemfrcn0  35162  fsum2dsub  35236  circlemeth  35269  itg2addnclem2  38590  fzsplitnr  43033  lcmineqlem18  43096  aks4d1p5  43130  aks4d1p8  43137  aks4d1p9  43138  aks6d1c1  43166  aks6d1c5lem1  43186  2np3bcnp1  43194  sticksstones6  43201  sticksstones7  43202  sticksstones10  43205  sticksstones12a  43207  sticksstones12  43208  sticksstones22  43218  aks6d1c6lem4  43223  bcled  43228  bcle2d  43229  grpods  43244  unitscyglem2  43246  unitscyglem4  43248  fzsplit1nn0  43764  irrapxlem3  43830  jm2.23  44002  binomcxplemnn0  45332  monoords  46312  uzfissfz  46337  iuneqfzuzlem  46345  ssuzfz  46360  uzublem  46439  fmul01  46591  fmuldfeq  46594  fmul01lt1lem1  46595  fmul01lt1lem2  46596  mccllem  46608  sumnnodd  46641  limsupubuzlem  46721  dvnmul  46952  dvnprodlem1  46955  dvnprodlem2  46956  iblspltprt  46982  itgspltprt  46988  stoweidlem3  47012  stoweidlem20  47029  stoweidlem26  47035  stoweidlem34  47043  stoweidlem51  47060  fourierdlem11  47127  fourierdlem12  47128  fourierdlem14  47130  fourierdlem15  47131  fourierdlem41  47157  fourierdlem48  47163  fourierdlem49  47164  fourierdlem50  47165  fourierdlem79  47194  fourierdlem92  47207  fourierdlem93  47208  elaa2lem  47242  etransclem3  47246  etransclem7  47250  etransclem27  47270  etransclem28  47271  etransclem35  47278  etransclem38  47281  etransclem44  47287  iundjiun  47469  caratheodorylem1  47535  gpgedgvtx1  49159  veronesev1lem  50972  veronesev2lem  50973  veronesev3lem  50974  veronesev4lem  50975  veronesev5lem  50976  veronesev6lem  50977