Theorem elfzd 13561

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 525	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13560	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419   ≤ cle 11261  ℤcz 12608  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11461  df-z 12609  df-fz 13554

This theorem is used by:  ssfzunsnext  13616  fzoun  13744  seqf1olem1  14097  bcval5  14374  hashdvds  16858  prmreclem5  17004  chnpolfz  18713  basellem3  27300  bcmono  27494  lgseisenlem1  27592  lgsquadlem1  27597  wwlksnextproplem2  30328  pfxlsw2ccat  33338  wrdt2ind  33341  gsumwrd2dccatlem  33463  cyc3conja  33543  selvply1rhmlemb  33975  rtelextdg2  34183  submateqlem1  34263  oddpwdc  34811  ballotlemsdom  34969  ballotlemsel1i  34970  ballotlemsima  34973  ballotlemfrcn0  34987  fsum2dsub  35061  circlemeth  35094  itg2addnclem2  38382  fzsplitnr  42810  lcmineqlem18  42873  aks4d1p5  42907  aks4d1p8  42914  aks4d1p9  42915  aks6d1c1  42943  aks6d1c5lem1  42963  2np3bcnp1  42971  sticksstones6  42978  sticksstones7  42979  sticksstones10  42982  sticksstones12a  42984  sticksstones12  42985  sticksstones22  42995  aks6d1c6lem4  43000  bcled  43005  bcle2d  43006  grpods  43021  unitscyglem2  43023  unitscyglem4  43025  fzsplit1nn0  43545  irrapxlem3  43611  jm2.23  43783  binomcxplemnn0  45119  monoords  46076  uzfissfz  46102  iuneqfzuzlem  46110  ssuzfz  46125  uzublem  46204  fmul01  46356  fmuldfeq  46359  fmul01lt1lem1  46360  fmul01lt1lem2  46361  mccllem  46373  sumnnodd  46406  limsupubuzlem  46486  dvnmul  46717  dvnprodlem1  46720  dvnprodlem2  46721  iblspltprt  46747  itgspltprt  46753  stoweidlem3  46777  stoweidlem20  46794  stoweidlem26  46800  stoweidlem34  46808  stoweidlem51  46825  fourierdlem11  46892  fourierdlem12  46893  fourierdlem14  46895  fourierdlem15  46896  fourierdlem41  46922  fourierdlem48  46928  fourierdlem49  46929  fourierdlem50  46930  fourierdlem79  46959  fourierdlem92  46972  fourierdlem93  46973  elaa2lem  47007  etransclem3  47011  etransclem7  47015  etransclem27  47035  etransclem28  47036  etransclem35  47043  etransclem38  47046  etransclem44  47052  iundjiun  47234  caratheodorylem1  47300  gpgedgvtx1  48887