Theorem elfzd 13469

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13468	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13523  fzoun  13651  seqf1olem1  14003  bcval5  14280  hashdvds  16745  prmreclem5  16891  chnpolfz  18599  basellem3  27046  bcmono  27240  lgseisenlem1  27338  lgsquadlem1  27343  wwlksnextproplem2  29978  pfxlsw2ccat  33010  wrdt2ind  33013  gsumwrd2dccatlem  33138  cyc3conja  33218  rtelextdg2  33871  submateqlem1  33951  oddpwdc  34498  ballotlemsdom  34656  ballotlemsel1i  34657  ballotlemsima  34660  ballotlemfrcn0  34674  fsum2dsub  34751  circlemeth  34784  itg2addnclem2  37993  fzsplitnr  42422  lcmineqlem18  42485  aks4d1p5  42519  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  aks6d1c1  42555  aks6d1c5lem1  42575  2np3bcnp1  42583  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  sticksstones22  42607  aks6d1c6lem4  42612  bcled  42617  bcle2d  42618  grpods  42633  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  fzsplit1nn0  43186  irrapxlem3  43252  jm2.23  43424  binomcxplemnn0  44776  monoords  45730  uzfissfz  45756  iuneqfzuzlem  45764  ssuzfz  45779  uzublem  45858  fmul01  46010  fmuldfeq  46013  fmul01lt1lem1  46014  fmul01lt1lem2  46015  mccllem  46027  sumnnodd  46060  limsupubuzlem  46140  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  stoweidlem3  46431  stoweidlem20  46448  stoweidlem26  46454  stoweidlem34  46462  stoweidlem51  46479  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem14  46549  fourierdlem15  46550  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem79  46613  fourierdlem92  46626  fourierdlem93  46627  elaa2lem  46661  etransclem3  46665  etransclem7  46669  etransclem27  46689  etransclem28  46690  etransclem35  46697  etransclem38  46700  etransclem44  46706  iundjiun  46888  caratheodorylem1  46954  gpgedgvtx1  48538