Theorem elfzd 13429

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13428	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356   ≤ cle 11165  ℤcz 12486  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11365  df-z 12487  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13483  fzoun  13610  seqf1olem1  13962  bcval5  14239  hashdvds  16700  prmreclem5  16846  chnpolfz  18554  basellem3  27047  bcmono  27242  lgseisenlem1  27340  lgsquadlem1  27345  wwlksnextproplem2  29932  pfxlsw2ccat  32981  wrdt2ind  32984  gsumwrd2dccatlem  33108  cyc3conja  33188  rtelextdg2  33833  submateqlem1  33913  oddpwdc  34460  ballotlemsdom  34618  ballotlemsel1i  34619  ballotlemsima  34622  ballotlemfrcn0  34636  fsum2dsub  34713  circlemeth  34746  itg2addnclem2  37812  fzsplitnr  42176  lcmineqlem18  42239  aks4d1p5  42273  aks4d1p8  42280  aks4d1p9  42281  aks6d1c1  42309  aks6d1c5lem1  42329  2np3bcnp1  42337  sticksstones6  42344  sticksstones7  42345  sticksstones10  42348  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  sticksstones22  42361  aks6d1c6lem4  42366  bcled  42371  bcle2d  42372  grpods  42387  unitscyglem2  42389  unitscyglem4  42391  fzsplit1nn0  42938  irrapxlem3  43008  jm2.23  43180  binomcxplemnn0  44532  monoords  45487  uzfissfz  45513  iuneqfzuzlem  45521  ssuzfz  45536  uzublem  45616  fmul01  45768  fmuldfeq  45771  fmul01lt1lem1  45772  fmul01lt1lem2  45773  mccllem  45785  sumnnodd  45818  limsupubuzlem  45898  dvnmul  46129  dvnprodlem1  46132  dvnprodlem2  46133  iblspltprt  46159  itgspltprt  46165  stoweidlem3  46189  stoweidlem20  46206  stoweidlem26  46212  stoweidlem34  46220  stoweidlem51  46237  fourierdlem11  46304  fourierdlem12  46305  fourierdlem14  46307  fourierdlem15  46308  fourierdlem41  46334  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem50  46342  fourierdlem79  46371  fourierdlem92  46384  fourierdlem93  46385  elaa2lem  46419  etransclem3  46423  etransclem7  46427  etransclem27  46447  etransclem28  46448  etransclem35  46455  etransclem38  46458  etransclem44  46464  iundjiun  46646  caratheodorylem1  46712  gpgedgvtx1  48250