Theorem elfzd 13415

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13414	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-neg 11347  df-z 12469  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13469  fzoun  13596  seqf1olem1  13948  bcval5  14225  hashdvds  16686  prmreclem5  16832  chnpolfz  18539  basellem3  27020  bcmono  27215  lgseisenlem1  27313  lgsquadlem1  27318  wwlksnextproplem2  29888  pfxlsw2ccat  32931  wrdt2ind  32934  gsumwrd2dccatlem  33046  cyc3conja  33126  rtelextdg2  33740  submateqlem1  33820  oddpwdc  34367  ballotlemsdom  34525  ballotlemsel1i  34526  ballotlemsima  34529  ballotlemfrcn0  34543  fsum2dsub  34620  circlemeth  34653  itg2addnclem2  37722  fzsplitnr  42086  lcmineqlem18  42149  aks4d1p5  42183  aks4d1p8  42190  aks4d1p9  42191  aks6d1c1  42219  aks6d1c5lem1  42239  2np3bcnp1  42247  sticksstones6  42254  sticksstones7  42255  sticksstones10  42258  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  sticksstones22  42271  aks6d1c6lem4  42276  bcled  42281  bcle2d  42282  grpods  42297  unitscyglem2  42299  unitscyglem4  42301  fzsplit1nn0  42857  irrapxlem3  42927  jm2.23  43099  binomcxplemnn0  44452  monoords  45408  uzfissfz  45435  iuneqfzuzlem  45443  ssuzfz  45458  uzublem  45538  fmul01  45690  fmuldfeq  45693  fmul01lt1lem1  45694  fmul01lt1lem2  45695  mccllem  45707  sumnnodd  45740  limsupubuzlem  45820  dvnmul  46051  dvnprodlem1  46054  dvnprodlem2  46055  iblspltprt  46081  itgspltprt  46087  stoweidlem3  46111  stoweidlem20  46128  stoweidlem26  46134  stoweidlem34  46142  stoweidlem51  46159  fourierdlem11  46226  fourierdlem12  46227  fourierdlem14  46229  fourierdlem15  46230  fourierdlem41  46256  fourierdlem48  46262  fourierdlem49  46263  fourierdlem50  46264  fourierdlem79  46293  fourierdlem92  46306  fourierdlem93  46307  elaa2lem  46341  etransclem3  46345  etransclem7  46349  etransclem27  46369  etransclem28  46370  etransclem35  46377  etransclem38  46380  etransclem44  46386  iundjiun  46568  caratheodorylem1  46634  gpgedgvtx1  48172