Theorem elfzd 13556

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13555	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432   ≤ cle 11297  ℤcz 12615  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-neg 11496  df-z 12616  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13610  fzoun  13737  seqf1olem1  14083  bcval5  14358  hashdvds  16813  prmreclem5  16959  basellem3  27127  bcmono  27322  lgseisenlem1  27420  lgsquadlem1  27425  wwlksnextproplem2  29931  pfxlsw2ccat  32936  wrdt2ind  32939  gsumwrd2dccatlem  33070  cyc3conja  33178  rtelextdg2  33769  submateqlem1  33807  oddpwdc  34357  ballotlemsdom  34515  ballotlemsel1i  34516  ballotlemsima  34519  ballotlemfrcn0  34533  fsum2dsub  34623  circlemeth  34656  itg2addnclem2  37680  fzsplitnr  41985  lcmineqlem18  42048  aks4d1p5  42082  aks4d1p8  42089  aks4d1p9  42090  aks6d1c1  42118  aks6d1c5lem1  42138  2np3bcnp1  42146  sticksstones6  42153  sticksstones7  42154  sticksstones10  42157  sticksstones12a  42159  sticksstones12  42160  sticksstones22  42170  aks6d1c6lem4  42175  bcled  42180  bcle2d  42181  grpods  42196  unitscyglem2  42198  unitscyglem4  42200  metakunt1  42207  metakunt2  42208  metakunt5  42211  metakunt10  42216  metakunt15  42221  metakunt16  42222  metakunt21  42227  metakunt22  42228  metakunt24  42230  metakunt26  42232  metakunt28  42234  metakunt29  42235  metakunt30  42236  prodsplit  42242  fzsplit1nn0  42770  irrapxlem3  42840  jm2.23  43013  binomcxplemnn0  44373  monoords  45314  uzfissfz  45342  iuneqfzuzlem  45350  ssuzfz  45365  uzublem  45446  fmul01  45600  fmuldfeq  45603  fmul01lt1lem1  45604  fmul01lt1lem2  45605  mccllem  45617  sumnnodd  45650  limsupubuzlem  45732  dvnmul  45963  dvnprodlem1  45966  dvnprodlem2  45967  iblspltprt  45993  itgspltprt  45999  stoweidlem3  46023  stoweidlem20  46040  stoweidlem26  46046  stoweidlem34  46054  stoweidlem51  46071  fourierdlem11  46138  fourierdlem12  46139  fourierdlem14  46141  fourierdlem15  46142  fourierdlem41  46168  fourierdlem48  46174  fourierdlem49  46175  fourierdlem50  46176  fourierdlem79  46205  fourierdlem92  46218  fourierdlem93  46219  elaa2lem  46253  etransclem3  46257  etransclem7  46261  etransclem27  46281  etransclem28  46282  etransclem35  46289  etransclem38  46292  etransclem44  46298  iundjiun  46480  caratheodorylem1  46546  gpgedgvtx1  48025