Theorem elfzd 13443

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13442	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   ≤ cle 11179  ℤcz 12500  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-neg 11379  df-z 12501  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13497  fzoun  13624  seqf1olem1  13976  bcval5  14253  hashdvds  16714  prmreclem5  16860  chnpolfz  18568  basellem3  27064  bcmono  27259  lgseisenlem1  27357  lgsquadlem1  27362  wwlksnextproplem2  29999  pfxlsw2ccat  33047  wrdt2ind  33050  gsumwrd2dccatlem  33175  cyc3conja  33255  rtelextdg2  33909  submateqlem1  33989  oddpwdc  34536  ballotlemsdom  34694  ballotlemsel1i  34695  ballotlemsima  34698  ballotlemfrcn0  34712  fsum2dsub  34789  circlemeth  34822  itg2addnclem2  37927  fzsplitnr  42357  lcmineqlem18  42420  aks4d1p5  42454  aks4d1p8  42461  aks4d1p9  42462  aks6d1c1  42490  aks6d1c5lem1  42510  2np3bcnp1  42518  sticksstones6  42525  sticksstones7  42526  sticksstones10  42529  sticksstones12a  42531  sticksstones12  42532  sticksstones22  42542  aks6d1c6lem4  42547  bcled  42552  bcle2d  42553  grpods  42568  unitscyglem2  42570  unitscyglem4  42572  fzsplit1nn0  43115  irrapxlem3  43185  jm2.23  43357  binomcxplemnn0  44709  monoords  45663  uzfissfz  45689  iuneqfzuzlem  45697  ssuzfz  45712  uzublem  45792  fmul01  45944  fmuldfeq  45947  fmul01lt1lem1  45948  fmul01lt1lem2  45949  mccllem  45961  sumnnodd  45994  limsupubuzlem  46074  dvnmul  46305  dvnprodlem1  46308  dvnprodlem2  46309  iblspltprt  46335  itgspltprt  46341  stoweidlem3  46365  stoweidlem20  46382  stoweidlem26  46388  stoweidlem34  46396  stoweidlem51  46413  fourierdlem11  46480  fourierdlem12  46481  fourierdlem14  46483  fourierdlem15  46484  fourierdlem41  46510  fourierdlem48  46516  fourierdlem49  46517  fourierdlem50  46518  fourierdlem79  46547  fourierdlem92  46560  fourierdlem93  46561  elaa2lem  46595  etransclem3  46599  etransclem7  46603  etransclem27  46623  etransclem28  46624  etransclem35  46631  etransclem38  46634  etransclem44  46640  iundjiun  46822  caratheodorylem1  46888  gpgedgvtx1  48426