Theorem elfzd 13476

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 516	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13475	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5142  (class class class)co 7394   ≤ cle 11233  ℤcz 12542  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-neg 11431  df-z 12543  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13530  fzoun  13653  seqf1olem1  13991  bcval5  14262  hashdvds  16692  prmreclem5  16837  basellem3  26516  bcmono  26709  lgseisenlem1  26807  lgsquadlem1  26812  wwlksnextproplem2  29093  pfxlsw2ccat  32051  wrdt2ind  32052  cyc3conja  32251  submateqlem1  32682  oddpwdc  33248  ballotlemsdom  33405  ballotlemsel1i  33406  ballotlemsima  33409  ballotlemfrcn0  33423  fsum2dsub  33514  circlemeth  33547  itg2addnclem2  36408  fzsplitnr  40718  lcmineqlem18  40780  aks4d1p5  40814  aks4d1p8  40821  aks4d1p9  40822  2np3bcnp1  40829  sticksstones6  40836  sticksstones7  40837  sticksstones10  40840  sticksstones12a  40842  sticksstones12  40843  sticksstones22  40853  metakunt1  40854  metakunt2  40855  metakunt5  40858  metakunt10  40863  metakunt15  40868  metakunt16  40869  metakunt21  40874  metakunt22  40875  metakunt24  40877  metakunt26  40879  metakunt28  40881  metakunt29  40882  metakunt30  40883  prodsplit  40890  fzsplit1nn0  41327  irrapxlem3  41397  jm2.23  41570  binomcxplemnn0  42943  monoords  43844  uzfissfz  43873  iuneqfzuzlem  43881  ssuzfz  43896  uzublem  43977  fmul01  44133  fmuldfeq  44136  fmul01lt1lem1  44137  fmul01lt1lem2  44138  mccllem  44150  sumnnodd  44183  limsupubuzlem  44265  dvnmul  44496  dvnprodlem1  44499  dvnprodlem2  44500  iblspltprt  44526  itgspltprt  44532  stoweidlem3  44556  stoweidlem20  44573  stoweidlem26  44579  stoweidlem34  44587  stoweidlem51  44604  fourierdlem11  44671  fourierdlem12  44672  fourierdlem14  44674  fourierdlem15  44675  fourierdlem41  44701  fourierdlem48  44707  fourierdlem49  44708  fourierdlem50  44709  fourierdlem79  44738  fourierdlem92  44751  fourierdlem93  44752  elaa2lem  44786  etransclem3  44790  etransclem7  44794  etransclem27  44814  etransclem28  44815  etransclem35  44822  etransclem38  44825  etransclem44  44831  iundjiun  45013  caratheodorylem1  45079