Theorem elfzd 13492

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 517	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13491	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13546  fzoun  13669  seqf1olem1  14007  bcval5  14278  hashdvds  16708  prmreclem5  16853  basellem3  26587  bcmono  26780  lgseisenlem1  26878  lgsquadlem1  26883  wwlksnextproplem2  29164  pfxlsw2ccat  32116  wrdt2ind  32117  cyc3conja  32316  submateqlem1  32787  oddpwdc  33353  ballotlemsdom  33510  ballotlemsel1i  33511  ballotlemsima  33514  ballotlemfrcn0  33528  fsum2dsub  33619  circlemeth  33652  itg2addnclem2  36540  fzsplitnr  40849  lcmineqlem18  40911  aks4d1p5  40945  aks4d1p8  40952  aks4d1p9  40953  2np3bcnp1  40960  sticksstones6  40967  sticksstones7  40968  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones22  40984  metakunt1  40985  metakunt2  40986  metakunt5  40989  metakunt10  40994  metakunt15  40999  metakunt16  41000  metakunt21  41005  metakunt22  41006  metakunt24  41008  metakunt26  41010  metakunt28  41012  metakunt29  41013  metakunt30  41014  prodsplit  41021  fzsplit1nn0  41492  irrapxlem3  41562  jm2.23  41735  binomcxplemnn0  43108  monoords  44007  uzfissfz  44036  iuneqfzuzlem  44044  ssuzfz  44059  uzublem  44140  fmul01  44296  fmuldfeq  44299  fmul01lt1lem1  44300  fmul01lt1lem2  44301  mccllem  44313  sumnnodd  44346  limsupubuzlem  44428  dvnmul  44659  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem2  44663  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  stoweidlem3  44719  stoweidlem20  44736  stoweidlem26  44742  stoweidlem34  44750  stoweidlem51  44767  fourierdlem11  44834  fourierdlem12  44835  fourierdlem14  44837  fourierdlem15  44838  fourierdlem41  44864  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem50  44872  fourierdlem79  44901  fourierdlem92  44914  fourierdlem93  44915  elaa2lem  44949  etransclem3  44953  etransclem7  44957  etransclem27  44977  etransclem28  44978  etransclem35  44985  etransclem38  44988  etransclem44  44994  iundjiun  45176  caratheodorylem1  45242