Theorem elfzd 13431

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13430	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13485  fzoun  13612  seqf1olem1  13964  bcval5  14241  hashdvds  16702  prmreclem5  16848  chnpolfz  18556  basellem3  27049  bcmono  27244  lgseisenlem1  27342  lgsquadlem1  27347  wwlksnextproplem2  29983  pfxlsw2ccat  33032  wrdt2ind  33035  gsumwrd2dccatlem  33159  cyc3conja  33239  rtelextdg2  33884  submateqlem1  33964  oddpwdc  34511  ballotlemsdom  34669  ballotlemsel1i  34670  ballotlemsima  34673  ballotlemfrcn0  34687  fsum2dsub  34764  circlemeth  34797  itg2addnclem2  37873  fzsplitnr  42247  lcmineqlem18  42310  aks4d1p5  42344  aks4d1p8  42351  aks4d1p9  42352  aks6d1c1  42380  aks6d1c5lem1  42400  2np3bcnp1  42408  sticksstones6  42415  sticksstones7  42416  sticksstones10  42419  sticksstones12a  42421  sticksstones12  42422  sticksstones22  42432  aks6d1c6lem4  42437  bcled  42442  bcle2d  42443  grpods  42458  unitscyglem2  42460  unitscyglem4  42462  fzsplit1nn0  43006  irrapxlem3  43076  jm2.23  43248  binomcxplemnn0  44600  monoords  45555  uzfissfz  45581  iuneqfzuzlem  45589  ssuzfz  45604  uzublem  45684  fmul01  45836  fmuldfeq  45839  fmul01lt1lem1  45840  fmul01lt1lem2  45841  mccllem  45853  sumnnodd  45886  limsupubuzlem  45966  dvnmul  46197  dvnprodlem1  46200  dvnprodlem2  46201  iblspltprt  46227  itgspltprt  46233  stoweidlem3  46257  stoweidlem20  46274  stoweidlem26  46280  stoweidlem34  46288  stoweidlem51  46305  fourierdlem11  46372  fourierdlem12  46373  fourierdlem14  46375  fourierdlem15  46376  fourierdlem41  46402  fourierdlem48  46408  fourierdlem49  46409  fourierdlem50  46410  fourierdlem79  46439  fourierdlem92  46452  fourierdlem93  46453  elaa2lem  46487  etransclem3  46491  etransclem7  46495  etransclem27  46515  etransclem28  46516  etransclem35  46523  etransclem38  46526  etransclem44  46532  iundjiun  46714  caratheodorylem1  46780  gpgedgvtx1  48318