Theorem elfzd 13476

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13475	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-neg 11408  df-z 12530  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13530  fzoun  13657  seqf1olem1  14006  bcval5  14283  hashdvds  16745  prmreclem5  16891  basellem3  26993  bcmono  27188  lgseisenlem1  27286  lgsquadlem1  27291  wwlksnextproplem2  29840  pfxlsw2ccat  32872  wrdt2ind  32875  gsumwrd2dccatlem  33006  cyc3conja  33114  rtelextdg2  33717  submateqlem1  33797  oddpwdc  34345  ballotlemsdom  34503  ballotlemsel1i  34504  ballotlemsima  34507  ballotlemfrcn0  34521  fsum2dsub  34598  circlemeth  34631  itg2addnclem2  37666  fzsplitnr  41971  lcmineqlem18  42034  aks4d1p5  42068  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  aks6d1c1  42104  aks6d1c5lem1  42124  2np3bcnp1  42132  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  sticksstones22  42156  aks6d1c6lem4  42161  bcled  42166  bcle2d  42167  grpods  42182  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186  fzsplit1nn0  42742  irrapxlem3  42812  jm2.23  42985  binomcxplemnn0  44338  monoords  45295  uzfissfz  45322  iuneqfzuzlem  45330  ssuzfz  45345  uzublem  45426  fmul01  45578  fmuldfeq  45581  fmul01lt1lem1  45582  fmul01lt1lem2  45583  mccllem  45595  sumnnodd  45628  limsupubuzlem  45710  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  stoweidlem3  46001  stoweidlem20  46018  stoweidlem26  46024  stoweidlem34  46032  stoweidlem51  46049  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem14  46119  fourierdlem15  46120  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem79  46183  fourierdlem92  46196  fourierdlem93  46197  elaa2lem  46231  etransclem3  46235  etransclem7  46239  etransclem27  46259  etransclem28  46260  etransclem35  46267  etransclem38  46270  etransclem44  46276  iundjiun  46458  caratheodorylem1  46524  gpgedgvtx1  48053