Theorem elfzd 13176

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13175	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13230  fzoun  13352  seqf1olem1  13690  bcval5  13960  hashdvds  16404  prmreclem5  16549  basellem3  26137  bcmono  26330  lgseisenlem1  26428  lgsquadlem1  26433  wwlksnextproplem2  28176  pfxlsw2ccat  31126  wrdt2ind  31127  cyc3conja  31326  submateqlem1  31659  oddpwdc  32221  ballotlemsdom  32378  ballotlemsel1i  32379  ballotlemsima  32382  ballotlemfrcn0  32396  fsum2dsub  32487  circlemeth  32520  itg2addnclem2  35756  fzsplitnr  39920  lcmineqlem18  39982  aks4d1p5  40016  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  2np3bcnp1  40028  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  sticksstones22  40052  metakunt1  40053  metakunt2  40054  metakunt5  40057  metakunt10  40062  metakunt15  40067  metakunt16  40068  metakunt21  40073  metakunt22  40074  metakunt24  40076  metakunt26  40078  metakunt28  40080  metakunt29  40081  metakunt30  40082  prodsplit  40089  fzsplit1nn0  40492  irrapxlem3  40562  jm2.23  40734  binomcxplemnn0  41856  monoords  42726  uzfissfz  42755  iuneqfzuzlem  42763  ssuzfz  42778  uzublem  42860  fmul01  43011  fmuldfeq  43014  fmul01lt1lem1  43015  fmul01lt1lem2  43016  mccllem  43028  sumnnodd  43061  limsupubuzlem  43143  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  stoweidlem3  43434  stoweidlem20  43451  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  stoweidlem51  43482  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem14  43552  fourierdlem15  43553  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem50  43587  fourierdlem79  43616  fourierdlem92  43629  fourierdlem93  43630  elaa2lem  43664  etransclem3  43668  etransclem7  43672  etransclem27  43692  etransclem28  43693  etransclem35  43700  etransclem38  43703  etransclem44  43709  iundjiun  43888  caratheodorylem1  43954