Theorem elfzd 13452

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13451	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13506  fzoun  13633  seqf1olem1  13982  bcval5  14259  hashdvds  16721  prmreclem5  16867  basellem3  27026  bcmono  27221  lgseisenlem1  27319  lgsquadlem1  27324  wwlksnextproplem2  29890  pfxlsw2ccat  32922  wrdt2ind  32925  gsumwrd2dccatlem  33049  cyc3conja  33129  rtelextdg2  33710  submateqlem1  33790  oddpwdc  34338  ballotlemsdom  34496  ballotlemsel1i  34497  ballotlemsima  34500  ballotlemfrcn0  34514  fsum2dsub  34591  circlemeth  34624  itg2addnclem2  37659  fzsplitnr  41964  lcmineqlem18  42027  aks4d1p5  42061  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c1  42097  aks6d1c5lem1  42117  2np3bcnp1  42125  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  sticksstones22  42149  aks6d1c6lem4  42154  bcled  42159  bcle2d  42160  grpods  42175  unitscyglem2  42177  unitscyglem4  42179  fzsplit1nn0  42735  irrapxlem3  42805  jm2.23  42978  binomcxplemnn0  44331  monoords  45288  uzfissfz  45315  iuneqfzuzlem  45323  ssuzfz  45338  uzublem  45419  fmul01  45571  fmuldfeq  45574  fmul01lt1lem1  45575  fmul01lt1lem2  45576  mccllem  45588  sumnnodd  45621  limsupubuzlem  45703  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem3  45994  stoweidlem20  46011  stoweidlem26  46017  stoweidlem34  46025  stoweidlem51  46042  fourierdlem11  46109  fourierdlem12  46110  fourierdlem14  46112  fourierdlem15  46113  fourierdlem41  46139  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem50  46147  fourierdlem79  46176  fourierdlem92  46189  fourierdlem93  46190  elaa2lem  46224  etransclem3  46228  etransclem7  46232  etransclem27  46252  etransclem28  46253  etransclem35  46260  etransclem38  46263  etransclem44  46269  iundjiun  46451  caratheodorylem1  46517  gpgedgvtx1  48046