Theorem elfzd 13418

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13417	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13472  fzoun  13599  seqf1olem1  13948  bcval5  14225  hashdvds  16686  prmreclem5  16832  basellem3  26991  bcmono  27186  lgseisenlem1  27284  lgsquadlem1  27289  wwlksnextproplem2  29855  pfxlsw2ccat  32893  wrdt2ind  32896  gsumwrd2dccatlem  33020  cyc3conja  33100  rtelextdg2  33700  submateqlem1  33780  oddpwdc  34328  ballotlemsdom  34486  ballotlemsel1i  34487  ballotlemsima  34490  ballotlemfrcn0  34504  fsum2dsub  34581  circlemeth  34614  itg2addnclem2  37662  fzsplitnr  41966  lcmineqlem18  42029  aks4d1p5  42063  aks4d1p8  42070  aks4d1p9  42071  aks6d1c1  42099  aks6d1c5lem1  42119  2np3bcnp1  42127  sticksstones6  42134  sticksstones7  42135  sticksstones10  42138  sticksstones12a  42140  sticksstones12  42141  sticksstones22  42151  aks6d1c6lem4  42156  bcled  42161  bcle2d  42162  grpods  42177  unitscyglem2  42179  unitscyglem4  42181  fzsplit1nn0  42737  irrapxlem3  42807  jm2.23  42979  binomcxplemnn0  44332  monoords  45289  uzfissfz  45316  iuneqfzuzlem  45324  ssuzfz  45339  uzublem  45419  fmul01  45571  fmuldfeq  45574  fmul01lt1lem1  45575  fmul01lt1lem2  45576  mccllem  45588  sumnnodd  45621  limsupubuzlem  45703  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem3  45994  stoweidlem20  46011  stoweidlem26  46017  stoweidlem34  46025  stoweidlem51  46042  fourierdlem11  46109  fourierdlem12  46110  fourierdlem14  46112  fourierdlem15  46113  fourierdlem41  46139  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem50  46147  fourierdlem79  46176  fourierdlem92  46189  fourierdlem93  46190  elaa2lem  46224  etransclem3  46228  etransclem7  46232  etransclem27  46252  etransclem28  46253  etransclem35  46260  etransclem38  46263  etransclem44  46269  iundjiun  46451  caratheodorylem1  46517  gpgedgvtx1  48056