Theorem elfzd 13537

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfzd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
elfzd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
elfzd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
elfzd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
elfzd.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
elfzd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		elfzd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5		elfzd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
6		elfzd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
7	4, 5, 6	jca32 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8		elfz2 13536	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13591  fzoun  13718  seqf1olem1  14064  bcval5  14341  hashdvds  16799  prmreclem5  16945  basellem3  27050  bcmono  27245  lgseisenlem1  27343  lgsquadlem1  27348  wwlksnextproplem2  29897  pfxlsw2ccat  32931  wrdt2ind  32934  gsumwrd2dccatlem  33065  cyc3conja  33173  rtelextdg2  33766  submateqlem1  33843  oddpwdc  34391  ballotlemsdom  34549  ballotlemsel1i  34550  ballotlemsima  34553  ballotlemfrcn0  34567  fsum2dsub  34644  circlemeth  34677  itg2addnclem2  37701  fzsplitnr  42001  lcmineqlem18  42064  aks4d1p5  42098  aks4d1p8  42105  aks4d1p9  42106  aks6d1c1  42134  aks6d1c5lem1  42154  2np3bcnp1  42162  sticksstones6  42169  sticksstones7  42170  sticksstones10  42173  sticksstones12a  42175  sticksstones12  42176  sticksstones22  42186  aks6d1c6lem4  42191  bcled  42196  bcle2d  42197  grpods  42212  unitscyglem2  42214  unitscyglem4  42216  fzsplit1nn0  42752  irrapxlem3  42822  jm2.23  42995  binomcxplemnn0  44348  monoords  45306  uzfissfz  45333  iuneqfzuzlem  45341  ssuzfz  45356  uzublem  45437  fmul01  45589  fmuldfeq  45592  fmul01lt1lem1  45593  fmul01lt1lem2  45594  mccllem  45606  sumnnodd  45639  limsupubuzlem  45721  dvnmul  45952  dvnprodlem1  45955  dvnprodlem2  45956  iblspltprt  45982  itgspltprt  45988  stoweidlem3  46012  stoweidlem20  46029  stoweidlem26  46035  stoweidlem34  46043  stoweidlem51  46060  fourierdlem11  46127  fourierdlem12  46128  fourierdlem14  46130  fourierdlem15  46131  fourierdlem41  46157  fourierdlem48  46163  fourierdlem49  46164  fourierdlem50  46165  fourierdlem79  46194  fourierdlem92  46207  fourierdlem93  46208  elaa2lem  46242  etransclem3  46246  etransclem7  46250  etransclem27  46270  etransclem28  46271  etransclem35  46278  etransclem38  46281  etransclem44  46287  iundjiun  46469  caratheodorylem1  46535  gpgedgvtx1  48046