MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sub4 11153
Description: Rearrangement of 4 terms in a subtraction. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
sub4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝐵) − (𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐷)))

Proof of Theorem sub4
StepHypRef Expression
1 addcom 11048 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
21ad2ant2lr 748 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
32oveq2d 7251 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐷) − (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)))
4 subadd4 11152 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝐵) − (𝐶𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) − (𝐵 + 𝐶)))
5 subadd4 11152 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)))
65an4s 660 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐵)))
73, 4, 63eqtr4d 2789 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴𝐵) − (𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  (class class class)co 7235  cc 10757   + caddc 10762  cmin 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-id 5472  df-po 5486  df-so 5487  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-ltxr 10902  df-sub 11094
This theorem is referenced by:  sub4d  11268  divalglem9  15995  pntibndlem2  26504  siilem1  28964  lhe4.4ex1a  41668
  Copyright terms: Public domain W3C validator