Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhe4.4ex1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhe4.4ex1a 40538
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 24568): ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 24568 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 24566 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10630 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 1le2 11834 . . . . 5 1 ≤ 2
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ≤ 2)
6 reelprrecn 10617 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8 recn 10615 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9 3nn0 11903 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
10 expcl 13435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
119, 10mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
128, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
13 3cn 11706 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
14 3ne0 11731 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
15 divcl 11292 . . . . . . . . . 10 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1613, 14, 15mp3an23 1444 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
18 mulcl 10609 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
1913, 8, 18sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
2017, 19subcld 10985 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2120adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22 ovexd 7180 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
2317adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
24 ovexd 7180 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑2) ∈ V)
25 divrec2 11303 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2613, 14, 25mp3an23 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2827mpteq2ia 5148 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2928oveq2i 7156 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3))))
3012adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
31 ovexd 7180 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ V)
32 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))
3332, 11fmpti 6868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ
34 ssid 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
35 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
36 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 · (𝑦↑2)) ∈ V
37 3nn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℕ
38 dvexp 24477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1))))
40 3m1e2 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 − 1) = 2
4140oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦↑(3 − 1)) = (𝑦↑2)
4241oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 · (𝑦↑(3 − 1))) = (3 · (𝑦↑2))
4342mpteq2i 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4439, 43eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4536, 44dmmpti 6485 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = ℂ
4635, 45sseqtrri 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)))
47 dvres3 24438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ))
486, 33, 34, 46, 47mp4an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ)
49 resmpt 5898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5035, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))
5150oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5244reseq1i 5842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ)
53 resmpt 5898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
5435, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5552, 54eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5648, 51, 553eqtr3i 2849 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
58 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5958, 13, 14divcli 11370 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
617, 30, 31, 57, 60dvmptcmul 24488 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))))
6261mptru 1535 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
63 sqcl 13472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
64 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
6513, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
66 divrec2 11303 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
6713, 14, 66mp3an23 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
688, 65, 673syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
69 divcan3 11312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7013, 14, 69mp3an23 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
718, 63, 703syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7268, 71eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))) = (𝑦↑2))
7372mpteq2ia 5148 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7429, 62, 733eqtri 2845 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7574a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2)))
7619adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
77 3ex 11707 . . . . . . . 8 3 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 3 ∈ V)
798adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
80 1red 10630 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
817dvmptid 24481 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8213a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
837, 79, 80, 81, 82dvmptcmul 24488 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)))
84 3t1e3 11790 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
8584mpteq2i 5149 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3)
8683, 85syl6eq 2869 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3))
877, 23, 24, 75, 76, 78, 86dvmptsub 24491 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
88 1re 10629 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
89 iccssre 12806 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
9088, 2, 89mp2an 688 . . . . . . 7 (1[,]2) ⊆ ℝ
9190a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1[,]2) ⊆ ℝ)
92 eqid 2818 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9392tgioo2 23338 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
94 iccntr 23356 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
9588, 2, 94mp2an 688 . . . . . . 7 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2)
9695a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
977, 21, 22, 87, 91, 93, 92, 96dvmptres2 24486 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
98 ioossicc 12810 . . . . . . 7 (1(,)2) ⊆ (1[,]2)
99 resmpt 5898 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
10190, 35sstri 3973 . . . . . . . . 9 (1[,]2) ⊆ ℂ
102 resmpt 5898 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
104 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
105 subcl 10873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10613, 105mpan2 687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10763, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
108104, 107fmpti 6868 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ
10934, 108, 343pm3.2i 1331 . . . . . . . . . 10 (ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
110 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0) ∈ V
111 cnelprrecn 10618 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
11363adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
114 ovexd 7180 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (𝑦↑(2 − 1))) ∈ V)
115 2nn 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
116 dvexp 24477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1))))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
11913a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
120 c0ex 10623 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
122112, 82dvmptc 24482 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
123112, 113, 114, 118, 119, 121, 122dvmptsub 24491 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0)))
124123mptru 1535 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0))
125110, 124dmmpti 6485 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ
126 dvcn 24445 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
127109, 125, 126mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
128 rescncf 23432 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
129101, 127, 128mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
130103, 129eqeltrri 2907 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
131 rescncf 23432 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)))
13298, 130, 131mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
133100, 132eqeltrri 2907 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
13497, 133syl6eqel 2918 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ))
13598a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ⊆ (1[,]2))
136 ioombl 24093 . . . . . . 7 (1(,)2) ∈ dom vol
137136a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ∈ dom vol)
138 ovexd 7180 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (1[,]2)) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
139 cniccibl 24368 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14088, 2, 130, 139mp3an 1452 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1
141140a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
142135, 137, 138, 141iblss 24332 . . . . 5 (⊤ → (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14397, 142eqeltrd 2910 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ 𝐿1)
144 resmpt 5898 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))
14590, 144ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
146 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
147146, 20fmpti 6868 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ
148 ssid 3986 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
14935, 147, 1483pm3.2i 1331 . . . . . . . 8 (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ)
150 ovex 7178 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑2) − 3) ∈ V
15187mptru 1535 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
152150, 151dmmpti 6485 . . . . . . . 8 dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ
153 dvcn 24445 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
154149, 152, 153mp2an 688 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
155 rescncf 23432 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
15690, 154, 155mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
157145, 156eqeltrri 2907 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
158157a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ))
1591, 3, 5, 134, 143, 158ftc2 24568 . . 3 (⊤ → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)))
160159mptru 1535 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1))
161 itgeq2 24305 . . 3 (∀𝑥 ∈ (1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3) → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥)
162 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦↑2) = (𝑥↑2))
163162oveq1d 7160 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦↑2) − 3) = ((𝑥↑2) − 3))
16497mptru 1535 . . . 4 (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
165 ovex 7178 . . . 4 ((𝑥↑2) − 3) ∈ V
166163, 164, 165fvmpt 6761 . . 3 (𝑥 ∈ (1(,)2) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3))
167161, 166mprg 3149 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥
1682leidi 11162 . . . . . . . . 9 2 ≤ 2
16988, 2elicc2i 12790 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (1[,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 2))
1702, 4, 168, 169mpbir3an 1333 . . . . . . . 8 2 ∈ (1[,]2)
171 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 2 → (𝑦↑3) = (2↑3))
172171oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → ((𝑦↑3) / 3) = ((2↑3) / 3))
173 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → (3 · 𝑦) = (3 · 2))
174172, 173oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((2↑3) / 3) − (3 · 2)))
175 cu2 13551 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑3) = 8
176175oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑3) / 3) = (8 / 3)
177 3t2e6 11791 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
178176, 177oveq12i 7157 . . . . . . . . . . 11 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((8 / 3) − 6)
179 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
180 6cn 11716 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
181179, 180, 13, 14divdiri 11385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = ((2 / 3) + (6 / 3))
182 6p2e8 11784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 + 2) = 8
183180, 179, 182addcomli 10820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 6) = 8
184183oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = (8 / 3)
185180, 13, 179, 14divmuli 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
186177, 185mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 / 3) = 2
187186oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 3) + (6 / 3)) = ((2 / 3) + 2)
188181, 184, 1873eqtr3i 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (8 / 3) = ((2 / 3) + 2)
189188oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . 12 ((8 / 3) − 6) = (((2 / 3) + 2) − 6)
190179, 13, 14divcli 11370 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
191 subsub3 10906 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6))
192190, 180, 179, 191mp3an 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6)
193189, 192eqtr4i 2844 . . . . . . . . . . 11 ((8 / 3) − 6) = ((2 / 3) − (6 − 2))
194 4cn 11710 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
195 4p2e6 11778 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 2) = 6
196194, 179, 195addcomli 10820 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 4) = 6
197180, 179, 194, 196subaddrii 10963 . . . . . . . . . . . 12 (6 − 2) = 4
198197oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 ((2 / 3) − (6 − 2)) = ((2 / 3) − 4)
199178, 193, 1983eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((2 / 3) − 4)
200174, 199syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((2 / 3) − 4))
201 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
202 ovex 7178 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) − 4) ∈ V
203200, 201, 202fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (2 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4))
204170, 203ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4)
20588leidi 11162 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
20688, 2elicc2i 12790 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,]2) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 2))
20788, 205, 4, 206mpbir3an 1333 . . . . . . . 8 1 ∈ (1[,]2)
208 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 1 → (𝑦↑3) = (1↑3))
209208oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → ((𝑦↑3) / 3) = ((1↑3) / 3))
210 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → (3 · 𝑦) = (3 · 1))
211209, 210oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((1↑3) / 3) − (3 · 1)))
212 3z 12003 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
213 1exp 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
214212, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1↑3) = 1
215214oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((1↑3) / 3) = (1 / 3)
216215, 84oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 (((1↑3) / 3) − (3 · 1)) = ((1 / 3) − 3)
217211, 216syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((1 / 3) − 3))
218 ovex 7178 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) − 3) ∈ V
219217, 201, 218fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3))
220207, 219ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3)
221204, 220oveq12i 7157 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3))
222 sub4 10919 . . . . . . 7 ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)) → (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)))
223190, 194, 59, 13, 222mp4an 689 . . . . . 6 (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3))
22413, 14pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
225 divsubdir 11322 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3)))
226179, 58, 224, 225mp3an 1452 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3))
227 2m1e1 11751 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
228227oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = (1 / 3)
229226, 228eqtr3i 2843 . . . . . . 7 ((2 / 3) − (1 / 3)) = (1 / 3)
230 3p1e4 11770 . . . . . . . 8 (3 + 1) = 4
231194, 13, 58, 230subaddrii 10963 . . . . . . 7 (4 − 3) = 1
232229, 231oveq12i 7157 . . . . . 6 (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)) = ((1 / 3) − 1)
233221, 223, 2323eqtri 2845 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − 1)
23413, 14dividi 11361 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
235234oveq2i 7156 . . . . 5 ((1 / 3) − (3 / 3)) = ((1 / 3) − 1)
236233, 235eqtr4i 2844 . . . 4 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − (3 / 3))
237 divsubdir 11322 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3)))
23858, 13, 224, 237mp3an 1452 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3))
239236, 238eqtr4i 2844 . . 3 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 − 3) / 3)
240 divneg 11320 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(2 / 3) = (-2 / 3))
241179, 13, 14, 240mp3an 1452 . . . 4 -(2 / 3) = (-2 / 3)
24213, 58negsubdi2i 10960 . . . . . 6 -(3 − 1) = (1 − 3)
24340negeqi 10867 . . . . . 6 -(3 − 1) = -2
244242, 243eqtr3i 2843 . . . . 5 (1 − 3) = -2
245244oveq1i 7155 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = (-2 / 3)
246241, 245eqtr4i 2844 . . 3 -(2 / 3) = ((1 − 3) / 3)
247239, 246eqtr4i 2844 . 2 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = -(2 / 3)
248160, 167, 2473eqtr3i 2849 1 ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  wss 3933  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  8c8 11686  0cn0 11885  cz 11969  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  cexp 13417  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  fldccnfld 20473  intcnt 21553  cnccncf 23411  volcvol 23991  𝐿1cibl 24145  citg 24146   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator