Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhe4.4ex1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhe4.4ex1a 44324
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 26099): ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 26099 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 26097 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11259 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2 2re 12337 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 1le2 12472 . . . . 5 1 ≤ 2
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ≤ 2)
6 reelprrecn 11244 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8 recn 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9 3nn0 12541 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
10 expcl 14116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
119, 10mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
128, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
13 3cn 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
14 3ne0 12369 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
15 divcl 11925 . . . . . . . . . 10 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1613, 14, 15mp3an23 1452 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
18 mulcl 11236 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
1913, 8, 18sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
2017, 19subcld 11617 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22 ovexd 7465 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
2317adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
24 ovexd 7465 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑2) ∈ V)
25 divrec2 11936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2613, 14, 25mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2827mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2928oveq2i 7441 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3))))
3012adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
31 ovexd 7465 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ V)
32 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))
3332, 11fmpti 7131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ
34 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
35 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
36 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 · (𝑦↑2)) ∈ V
37 3nn 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℕ
38 dvexp 26005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1))))
40 3m1e2 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 − 1) = 2
4140oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦↑(3 − 1)) = (𝑦↑2)
4241oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 · (𝑦↑(3 − 1))) = (3 · (𝑦↑2))
4342mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4439, 43eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4536, 44dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = ℂ
4635, 45sseqtrri 4032 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)))
47 dvres3 25962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ))
486, 33, 34, 46, 47mp4an 693 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ)
49 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5035, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))
5150oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5244reseq1i 5995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ)
53 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
5435, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5552, 54eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5648, 51, 553eqtr3i 2770 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
58 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5958, 13, 14divcli 12006 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
617, 30, 31, 57, 60dvmptcmul 26016 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))))
6261mptru 1543 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
63 sqcl 14154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
64 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
6513, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
66 divrec2 11936 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
6713, 14, 66mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
688, 65, 673syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
69 divcan3 11945 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7013, 14, 69mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
718, 63, 703syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7268, 71eqtr3d 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))) = (𝑦↑2))
7372mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7429, 62, 733eqtri 2766 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7574a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2)))
7619adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
77 3ex 12345 . . . . . . . 8 3 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 3 ∈ V)
798adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
80 1red 11259 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
817dvmptid 26009 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8213a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
837, 79, 80, 81, 82dvmptcmul 26016 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)))
84 3t1e3 12428 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
8584mpteq2i 5252 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3)
8683, 85eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3))
877, 23, 24, 75, 76, 78, 86dvmptsub 26019 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
88 1re 11258 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
89 iccssre 13465 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
9088, 2, 89mp2an 692 . . . . . . 7 (1[,]2) ⊆ ℝ
9190a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1[,]2) ⊆ ℝ)
92 eqid 2734 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9392tgioo2 24838 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
94 iccntr 24856 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
9588, 2, 94mp2an 692 . . . . . . 7 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2)
9695a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
977, 21, 22, 87, 91, 93, 92, 96dvmptres2 26014 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
98 ioossicc 13469 . . . . . . 7 (1(,)2) ⊆ (1[,]2)
99 resmpt 6056 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
10190, 35sstri 4004 . . . . . . . . 9 (1[,]2) ⊆ ℂ
102 resmpt 6056 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
104 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
105 subcl 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10613, 105mpan2 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10763, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
108104, 107fmpti 7131 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ
10934, 108, 343pm3.2i 1338 . . . . . . . . . 10 (ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
110 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0) ∈ V
111 cnelprrecn 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
11363adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
114 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (𝑦↑(2 − 1))) ∈ V)
115 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
116 dvexp 26005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1))))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
11913a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
120 c0ex 11252 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
122112, 82dvmptc 26010 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
123112, 113, 114, 118, 119, 121, 122dvmptsub 26019 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0)))
124123mptru 1543 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0))
125110, 124dmmpti 6712 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ
126 dvcn 25971 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
127109, 125, 126mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
128 rescncf 24936 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
129101, 127, 128mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
130103, 129eqeltrri 2835 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
131 rescncf 24936 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)))
13298, 130, 131mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
133100, 132eqeltrri 2835 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
13497, 133eqeltrdi 2846 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ))
13598a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ⊆ (1[,]2))
136 ioombl 25613 . . . . . . 7 (1(,)2) ∈ dom vol
137136a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ∈ dom vol)
138 ovexd 7465 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (1[,]2)) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
139 cniccibl 25890 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14088, 2, 130, 139mp3an 1460 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1
141140a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
142135, 137, 138, 141iblss 25854 . . . . 5 (⊤ → (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14397, 142eqeltrd 2838 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ 𝐿1)
144 resmpt 6056 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))
14590, 144ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
146 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
147146, 20fmpti 7131 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ
148 ssid 4017 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
14935, 147, 1483pm3.2i 1338 . . . . . . . 8 (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ)
150 ovex 7463 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑2) − 3) ∈ V
15187mptru 1543 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
152150, 151dmmpti 6712 . . . . . . . 8 dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ
153 dvcn 25971 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
154149, 152, 153mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
155 rescncf 24936 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
15690, 154, 155mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
157145, 156eqeltrri 2835 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
158157a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ))
1591, 3, 5, 134, 143, 158ftc2 26099 . . 3 (⊤ → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)))
160159mptru 1543 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1))
161 itgeq2 25827 . . 3 (∀𝑥 ∈ (1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3) → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥)
162 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦↑2) = (𝑥↑2))
163162oveq1d 7445 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦↑2) − 3) = ((𝑥↑2) − 3))
16497mptru 1543 . . . 4 (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
165 ovex 7463 . . . 4 ((𝑥↑2) − 3) ∈ V
166163, 164, 165fvmpt 7015 . . 3 (𝑥 ∈ (1(,)2) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3))
167161, 166mprg 3064 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥
1682leidi 11794 . . . . . . . . 9 2 ≤ 2
16988, 2elicc2i 13449 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (1[,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 2))
1702, 4, 168, 169mpbir3an 1340 . . . . . . . 8 2 ∈ (1[,]2)
171 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 2 → (𝑦↑3) = (2↑3))
172171oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → ((𝑦↑3) / 3) = ((2↑3) / 3))
173 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → (3 · 𝑦) = (3 · 2))
174172, 173oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((2↑3) / 3) − (3 · 2)))
175 cu2 14235 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑3) = 8
176175oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑3) / 3) = (8 / 3)
177 3t2e6 12429 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
178176, 177oveq12i 7442 . . . . . . . . . . 11 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((8 / 3) − 6)
179 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
180 6cn 12354 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
181179, 180, 13, 14divdiri 12021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = ((2 / 3) + (6 / 3))
182 6p2e8 12422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 + 2) = 8
183180, 179, 182addcomli 11450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 6) = 8
184183oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = (8 / 3)
185180, 13, 179, 14divmuli 12018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
186177, 185mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 / 3) = 2
187186oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 3) + (6 / 3)) = ((2 / 3) + 2)
188181, 184, 1873eqtr3i 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (8 / 3) = ((2 / 3) + 2)
189188oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((8 / 3) − 6) = (((2 / 3) + 2) − 6)
190179, 13, 14divcli 12006 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
191 subsub3 11538 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6))
192190, 180, 179, 191mp3an 1460 . . . . . . . . . . . 12 ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6)
193189, 192eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . 11 ((8 / 3) − 6) = ((2 / 3) − (6 − 2))
194 4cn 12348 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
195 4p2e6 12416 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 2) = 6
196194, 179, 195addcomli 11450 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 4) = 6
197180, 179, 194, 196subaddrii 11595 . . . . . . . . . . . 12 (6 − 2) = 4
198197oveq2i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((2 / 3) − (6 − 2)) = ((2 / 3) − 4)
199178, 193, 1983eqtri 2766 . . . . . . . . . 10 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((2 / 3) − 4)
200174, 199eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((2 / 3) − 4))
201 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
202 ovex 7463 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) − 4) ∈ V
203200, 201, 202fvmpt 7015 . . . . . . . 8 (2 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4))
204170, 203ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4)
20588leidi 11794 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
20688, 2elicc2i 13449 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,]2) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 2))
20788, 205, 4, 206mpbir3an 1340 . . . . . . . 8 1 ∈ (1[,]2)
208 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 1 → (𝑦↑3) = (1↑3))
209208oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → ((𝑦↑3) / 3) = ((1↑3) / 3))
210 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → (3 · 𝑦) = (3 · 1))
211209, 210oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((1↑3) / 3) − (3 · 1)))
212 3z 12647 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
213 1exp 14128 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
214212, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1↑3) = 1
215214oveq1i 7440 . . . . . . . . . . 11 ((1↑3) / 3) = (1 / 3)
216215, 84oveq12i 7442 . . . . . . . . . 10 (((1↑3) / 3) − (3 · 1)) = ((1 / 3) − 3)
217211, 216eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((1 / 3) − 3))
218 ovex 7463 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) − 3) ∈ V
219217, 201, 218fvmpt 7015 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3))
220207, 219ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3)
221204, 220oveq12i 7442 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3))
222 sub4 11551 . . . . . . 7 ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)) → (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)))
223190, 194, 59, 13, 222mp4an 693 . . . . . 6 (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3))
22413, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
225 divsubdir 11958 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3)))
226179, 58, 224, 225mp3an 1460 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3))
227 2m1e1 12389 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
228227oveq1i 7440 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = (1 / 3)
229226, 228eqtr3i 2764 . . . . . . 7 ((2 / 3) − (1 / 3)) = (1 / 3)
230 3p1e4 12408 . . . . . . . 8 (3 + 1) = 4
231194, 13, 58, 230subaddrii 11595 . . . . . . 7 (4 − 3) = 1
232229, 231oveq12i 7442 . . . . . 6 (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)) = ((1 / 3) − 1)
233221, 223, 2323eqtri 2766 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − 1)
23413, 14dividi 11997 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
235234oveq2i 7441 . . . . 5 ((1 / 3) − (3 / 3)) = ((1 / 3) − 1)
236233, 235eqtr4i 2765 . . . 4 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − (3 / 3))
237 divsubdir 11958 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3)))
23858, 13, 224, 237mp3an 1460 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3))
239236, 238eqtr4i 2765 . . 3 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 − 3) / 3)
240 divneg 11956 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(2 / 3) = (-2 / 3))
241179, 13, 14, 240mp3an 1460 . . . 4 -(2 / 3) = (-2 / 3)
24213, 58negsubdi2i 11592 . . . . . 6 -(3 − 1) = (1 − 3)
24340negeqi 11498 . . . . . 6 -(3 − 1) = -2
244242, 243eqtr3i 2764 . . . . 5 (1 − 3) = -2
245244oveq1i 7440 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = (-2 / 3)
246241, 245eqtr4i 2765 . . 3 -(2 / 3) = ((1 − 3) / 3)
247239, 246eqtr4i 2765 . 2 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = -(2 / 3)
248160, 167, 2473eqtr3i 2770 1 ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  wss 3962  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  6c6 12322  8c8 12324  0cn0 12523  cz 12610  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  cexp 14098  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  intcnt 23040  cnccncf 24915  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator