Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhe4.4ex1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhe4.4ex1a 42599
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 25408): ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 25408 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 25406 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11156 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2 2re 12227 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4 1le2 12362 . . . . 5 1 ≤ 2
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ≤ 2)
6 reelprrecn 11143 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8 recn 11141 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
9 3nn0 12431 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
10 expcl 13985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
119, 10mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
128, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
13 3cn 12234 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
14 3ne0 12259 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
15 divcl 11819 . . . . . . . . . 10 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1613, 14, 15mp3an23 1453 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
18 mulcl 11135 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
1913, 8, 18sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
2017, 19subcld 11512 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2120adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22 ovexd 7392 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
2317adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦↑3) / 3) ∈ ℂ)
24 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑2) ∈ V)
25 divrec2 11830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2613, 14, 25mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑3) ∈ ℂ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦↑3) / 3) = ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2827mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))
2928oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3))))
3012adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦↑3) ∈ ℂ)
31 ovexd 7392 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ V)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))
3332, 11fmpti 7060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ
34 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
35 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
36 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 · (𝑦↑2)) ∈ V
37 3nn 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℕ
38 dvexp 25317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1))))
40 3m1e2 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 − 1) = 2
4140oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦↑(3 − 1)) = (𝑦↑2)
4241oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 · (𝑦↑(3 − 1))) = (3 · (𝑦↑2))
4342mpteq2i 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑(3 − 1)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4439, 43eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
4536, 44dmmpti 6645 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) = ℂ
4635, 45sseqtrri 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)))
47 dvres3 25277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ))
486, 33, 34, 46, 47mp4an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ)
49 resmpt 5991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5035, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))
5150oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3)) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3)))
5244reseq1i 5933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ)
53 resmpt 5991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
5435, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (3 · (𝑦↑2))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5552, 54eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑3))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5648, 51, 553eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · (𝑦↑2))))
58 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5958, 13, 14divcli 11897 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
617, 30, 31, 57, 60dvmptcmul 25328 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))))
6261mptru 1548 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (𝑦↑3)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
63 sqcl 14023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
64 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℂ) → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
6513, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
66 divrec2 11830 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
6713, 14, 66mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (𝑦↑2)) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
688, 65, 673syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))))
69 divcan3 11839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7013, 14, 69mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
718, 63, 703syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → ((3 · (𝑦↑2)) / 3) = (𝑦↑2))
7268, 71eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2))) = (𝑦↑2))
7372mpteq2ia 5208 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 3) · (3 · (𝑦↑2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7429, 62, 733eqtri 2768 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2))
7574a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑3) / 3))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦↑2)))
7619adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (3 · 𝑦) ∈ ℂ)
77 3ex 12235 . . . . . . . 8 3 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 3 ∈ V)
798adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
80 1red 11156 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
817dvmptid 25321 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
8213a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 3 ∈ ℂ)
837, 79, 80, 81, 82dvmptcmul 25328 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)))
84 3t1e3 12318 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
8584mpteq2i 5210 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3)
8683, 85eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 3))
877, 23, 24, 75, 76, 78, 86dvmptsub 25331 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
88 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
89 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
9088, 2, 89mp2an 690 . . . . . . 7 (1[,]2) ⊆ ℝ
9190a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1[,]2) ⊆ ℝ)
92 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9392tgioo2 24166 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
94 iccntr 24184 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
9588, 2, 94mp2an 690 . . . . . . 7 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2)
9695a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(1[,]2)) = (1(,)2))
977, 21, 22, 87, 91, 93, 92, 96dvmptres2 25326 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
98 ioossicc 13350 . . . . . . 7 (1(,)2) ⊆ (1[,]2)
99 resmpt 5991 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
10190, 35sstri 3953 . . . . . . . . 9 (1[,]2) ⊆ ℂ
102 resmpt 5991 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)))
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
104 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
105 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10613, 105mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦↑2) ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
10763, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦↑2) − 3) ∈ ℂ)
108104, 107fmpti 7060 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ
10934, 108, 343pm3.2i 1339 . . . . . . . . . 10 (ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
110 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0) ∈ V
111 cnelprrecn 11144 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
11363adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
114 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (𝑦↑(2 − 1))) ∈ V)
115 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
116 dvexp 25317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1))))
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑦↑(2 − 1)))))
11913a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 3 ∈ ℂ)
120 c0ex 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
122112, 82dvmptc 25322 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 3)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
123112, 113, 114, 118, 119, 121, 122dvmptsub 25331 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0)))
124123mptru 1548 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · (𝑦↑(2 − 1))) − 0))
125110, 124dmmpti 6645 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ
126 dvcn 25285 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3))) = ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
127109, 125, 126mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
128 rescncf 24260 . . . . . . . . 9 ((1[,]2) ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
129101, 127, 128mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
130103, 129eqeltrri 2835 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
131 rescncf 24260 . . . . . . 7 ((1(,)2) ⊆ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)))
13298, 130, 131mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ↾ (1(,)2)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
133100, 132eqeltrri 2835 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ)
13497, 133eqeltrdi 2846 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ ((1(,)2)–cn→ℂ))
13598a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ⊆ (1[,]2))
136 ioombl 24929 . . . . . . 7 (1(,)2) ∈ dom vol
137136a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (1(,)2) ∈ dom vol)
138 ovexd 7392 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (1[,]2)) → ((𝑦↑2) − 3) ∈ V)
139 cniccibl 25205 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)) → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14088, 2, 130, 139mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1
141140a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
142135, 137, 138, 141iblss 25169 . . . . 5 (⊤ → (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3)) ∈ 𝐿1)
14397, 142eqeltrd 2838 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) ∈ 𝐿1)
144 resmpt 5991 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))
14590, 144ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
146 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
147146, 20fmpti 7060 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ
148 ssid 3966 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ
14935, 147, 1483pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ)
150 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑2) − 3) ∈ V
15187mptru 1548 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑2) − 3))
152150, 151dmmpti 6645 . . . . . . . 8 dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ
153 dvcn 25285 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))):ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
154149, 152, 153mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
155 rescncf 24260 . . . . . . 7 ((1[,]2) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)))
15690, 154, 155mp2 9 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ↾ (1[,]2)) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
157145, 156eqeltrri 2835 . . . . 5 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ)
158157a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) ∈ ((1[,]2)–cn→ℂ))
1591, 3, 5, 134, 143, 158ftc2 25408 . . 3 (⊤ → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)))
160159mptru 1548 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1))
161 itgeq2 25142 . . 3 (∀𝑥 ∈ (1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3) → ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥)
162 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦↑2) = (𝑥↑2))
163162oveq1d 7372 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦↑2) − 3) = ((𝑥↑2) − 3))
16497mptru 1548 . . . 4 (ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (1(,)2) ↦ ((𝑦↑2) − 3))
165 ovex 7390 . . . 4 ((𝑥↑2) − 3) ∈ V
166163, 164, 165fvmpt 6948 . . 3 (𝑥 ∈ (1(,)2) → ((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) = ((𝑥↑2) − 3))
167161, 166mprg 3070 . 2 ∫(1(,)2)((ℝ D (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥
1682leidi 11689 . . . . . . . . 9 2 ≤ 2
16988, 2elicc2i 13330 . . . . . . . . 9 (2 ∈ (1[,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 2))
1702, 4, 168, 169mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 2 ∈ (1[,]2)
171 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 2 → (𝑦↑3) = (2↑3))
172171oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → ((𝑦↑3) / 3) = ((2↑3) / 3))
173 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 2 → (3 · 𝑦) = (3 · 2))
174172, 173oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((2↑3) / 3) − (3 · 2)))
175 cu2 14104 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑3) = 8
176175oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑3) / 3) = (8 / 3)
177 3t2e6 12319 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
178176, 177oveq12i 7369 . . . . . . . . . . 11 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((8 / 3) − 6)
179 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
180 6cn 12244 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
181179, 180, 13, 14divdiri 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = ((2 / 3) + (6 / 3))
182 6p2e8 12312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 + 2) = 8
183180, 179, 182addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 6) = 8
184183oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 + 6) / 3) = (8 / 3)
185180, 13, 179, 14divmuli 11909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 / 3) = 2 ↔ (3 · 2) = 6)
186177, 185mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 / 3) = 2
187186oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 3) + (6 / 3)) = ((2 / 3) + 2)
188181, 184, 1873eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (8 / 3) = ((2 / 3) + 2)
189188oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((8 / 3) − 6) = (((2 / 3) + 2) − 6)
190179, 13, 14divcli 11897 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 3) ∈ ℂ
191 subsub3 11433 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6))
192190, 180, 179, 191mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 ((2 / 3) − (6 − 2)) = (((2 / 3) + 2) − 6)
193189, 192eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . 11 ((8 / 3) − 6) = ((2 / 3) − (6 − 2))
194 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
195 4p2e6 12306 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 2) = 6
196194, 179, 195addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 4) = 6
197180, 179, 194, 196subaddrii 11490 . . . . . . . . . . . 12 (6 − 2) = 4
198197oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((2 / 3) − (6 − 2)) = ((2 / 3) − 4)
199178, 193, 1983eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 (((2↑3) / 3) − (3 · 2)) = ((2 / 3) − 4)
200174, 199eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 2 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((2 / 3) − 4))
201 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))
202 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) − 4) ∈ V
203200, 201, 202fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (2 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4))
204170, 203ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) = ((2 / 3) − 4)
20588leidi 11689 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
20688, 2elicc2i 13330 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,]2) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 2))
20788, 205, 4, 206mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 1 ∈ (1[,]2)
208 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 1 → (𝑦↑3) = (1↑3))
209208oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → ((𝑦↑3) / 3) = ((1↑3) / 3))
210 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → (3 · 𝑦) = (3 · 1))
211209, 210oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = (((1↑3) / 3) − (3 · 1)))
212 3z 12536 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℤ
213 1exp 13997 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
214212, 213ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1↑3) = 1
215214oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((1↑3) / 3) = (1 / 3)
216215, 84oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 (((1↑3) / 3) − (3 · 1)) = ((1 / 3) − 3)
217211, 216eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 1 → (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)) = ((1 / 3) − 3))
218 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) − 3) ∈ V
219217, 201, 218fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (1 ∈ (1[,]2) → ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3))
220207, 219ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1) = ((1 / 3) − 3)
221204, 220oveq12i 7369 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3))
222 sub4 11446 . . . . . . 7 ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)) → (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)))
223190, 194, 59, 13, 222mp4an 691 . . . . . 6 (((2 / 3) − 4) − ((1 / 3) − 3)) = (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3))
22413, 14pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
225 divsubdir 11849 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3)))
226179, 58, 224, 225mp3an 1461 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = ((2 / 3) − (1 / 3))
227 2m1e1 12279 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
228227oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((2 − 1) / 3) = (1 / 3)
229226, 228eqtr3i 2766 . . . . . . 7 ((2 / 3) − (1 / 3)) = (1 / 3)
230 3p1e4 12298 . . . . . . . 8 (3 + 1) = 4
231194, 13, 58, 230subaddrii 11490 . . . . . . 7 (4 − 3) = 1
232229, 231oveq12i 7369 . . . . . 6 (((2 / 3) − (1 / 3)) − (4 − 3)) = ((1 / 3) − 1)
233221, 223, 2323eqtri 2768 . . . . 5 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − 1)
23413, 14dividi 11888 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
235234oveq2i 7368 . . . . 5 ((1 / 3) − (3 / 3)) = ((1 / 3) − 1)
236233, 235eqtr4i 2767 . . . 4 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 / 3) − (3 / 3))
237 divsubdir 11849 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3)))
23858, 13, 224, 237mp3an 1461 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = ((1 / 3) − (3 / 3))
239236, 238eqtr4i 2767 . . 3 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = ((1 − 3) / 3)
240 divneg 11847 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → -(2 / 3) = (-2 / 3))
241179, 13, 14, 240mp3an 1461 . . . 4 -(2 / 3) = (-2 / 3)
24213, 58negsubdi2i 11487 . . . . . 6 -(3 − 1) = (1 − 3)
24340negeqi 11394 . . . . . 6 -(3 − 1) = -2
244242, 243eqtr3i 2766 . . . . 5 (1 − 3) = -2
245244oveq1i 7367 . . . 4 ((1 − 3) / 3) = (-2 / 3)
246241, 245eqtr4i 2767 . . 3 -(2 / 3) = ((1 − 3) / 3)
247239, 246eqtr4i 2767 . 2 (((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘2) − ((𝑦 ∈ (1[,]2) ↦ (((𝑦↑3) / 3) − (3 · 𝑦)))‘1)) = -(2 / 3)
248160, 167, 2473eqtr3i 2772 1 ∫(1(,)2)((𝑥↑2) − 3) d𝑥 = -(2 / 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  8c8 12214  0cn0 12413  cz 12499  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cexp 13967  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator