Theorem subrngbas 20583

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrng0.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrngbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrngbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 20581	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrng0.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 19155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  SubGrpcsubg 19145  SubRngcsubrng 20574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-1cn 11128  ax-addcl 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-nn 12208  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-subg 19148  df-abl 19806  df-rng 20182  df-subrng 20575

This theorem is referenced by:  subrngmcl  20586  subsubrng  20592  pzriprnglem7  21519  pzriprnglem9  21521