Theorem subrngbas 20469

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrng0.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrngbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrngbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngsubg 20467	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrng0.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 19068	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  SubGrpcsubg 19058  SubRngcsubrng 20460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-1cn 11132  ax-addcl 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-nn 12188  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-subg 19061  df-abl 19719  df-rng 20068  df-subrng 20461

This theorem is referenced by:  subrngmcl  20472  subsubrng  20478  pzriprnglem7  21403  pzriprnglem9  21405