Theorem pzriprnglem7 21515

Description: Lemma 7 for pzriprng 21525: 𝐽 is a unital ring. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem7	⊢ 𝐽 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem7

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem5 21513	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	4	subrngrng 20566	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐽 ∈ Rng)
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Rng
7		1z 12644	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		c0ex 11252	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4666	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10	7, 9	opelxpii 5726	. . . 4 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0})
11	4	subrngbas 20570	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
13	12, 2	eqtr3i 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) = (ℤ × {0})
14	10, 13	eleqtrri 2837	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽)
15		oveq1 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥))
16	15	eqeq1d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → ((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥))
17	16	ovanraleqv 7454	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽))
19	12	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐽))
20	1, 2, 4	pzriprnglem6 21514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
21	19, 20	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
23	22	ralrimiv 3142	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
24	17, 18, 23	rspcedvdw 3624	. . 3 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥))
25	14, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)
26		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
27		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
28	26, 27	isringrng 20300	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Ring ↔ (𝐽 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)))
29	6, 25, 28	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐽 ∈ Ring

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {csn 4630  ⟨cop 4636   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  ℤcz 12610  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  ._rcmulr 17298   ×_s cxps 17552  Rngcrng 20169  Ringcrg 20250  SubRngcsubrng 20561  ℤ_ringczring 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-cnfld 21382  df-zring 21475

This theorem is referenced by:  pzriprnglem9  21517  pzriprngALT  21523  pzriprng1ALT  21524