Theorem pzriprnglem7 21701

Description: Lemma 7 for pzriprng 21711: 𝐽 is a unital ring. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem7	⊢ 𝐽 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem7

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem5 21699	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	4	subrngrng 20713	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐽 ∈ Rng)
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Rng
7		1z 12651	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		c0ex 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4626	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10	7, 9	opelxpii 5697	. . . 4 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0})
11	4	subrngbas 20717	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
13	12, 2	eqtr3i 2787	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) = (ℤ × {0})
14	10, 13	eleqtrri 2861	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽)
15		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥))
16	15	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → ((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥))
17	16	ovanraleqv 7440	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
18		id 23	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽))
19	12	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐽))
20	1, 2, 4	pzriprnglem6 21700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
21	19, 20	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
23	22	ralrimiv 3155	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
24	17, 18, 23	rspcedvdw 3582	. . 3 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥))
25	14, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)
26		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
27		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
28	26, 27	isringrng 20429	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Ring ↔ (𝐽 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)))
29	6, 25, 28	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐽 ∈ Ring

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {csn 4587  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128  ℤcz 12618  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  ._rcmulr 17347   ×_s cxps 17596  Rngcrng 20288  Ringcrg 20373  SubRngcsubrng 20708  ℤ_ringczring 21660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-cnfld 21587  df-zring 21661

This theorem is used by:  pzriprnglem9  21703  pzriprngALT  21709  pzriprng1ALT  21710