Theorem pzriprnglem7 21740

Description: Lemma 7 for pzriprng 21750: 𝐽 is a unital ring. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem7	⊢ 𝐽 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem7

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem5 21738	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	4	subrngrng 20749	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐽 ∈ Rng)
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Rng
7		1z 12681	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		c0ex 11257	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4623	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10	7, 9	opelxpii 5686	. . . 4 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0})
11	4	subrngbas 20753	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
13	12, 2	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) = (ℤ × {0})
14	10, 13	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽)
15		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → ((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥))
17	16	ovanraleqv 7433	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
18		id 23	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽))
19	12	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐽))
20	1, 2, 4	pzriprnglem6 21739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
21	19, 20	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
23	22	ralrimiv 3153	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
24	17, 18, 23	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥))
25	14, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)
26		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
27		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
28	26, 27	isringrng 20463	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Ring ↔ (𝐽 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)))
29	6, 25, 28	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐽 ∈ Ring

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5646  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158  ℤcz 12648  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  ._rcmulr 17376   ×_s cxps 17625  Rngcrng 20321  Ringcrg 20406  SubRngcsubrng 20744  ℤ_ringczring 21699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-prds 17565  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-subg 19280  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-cnfld 21626  df-zring 21700

This theorem is used by:  pzriprnglem9  21742  pzriprngALT  21748  pzriprng1ALT  21749