Theorem pzriprnglem7 21477

Description: Lemma 7 for pzriprng 21487: 𝐽 is a unital ring. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem7	⊢ 𝐽 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem7

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem5 21475	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	4	subrngrng 20518	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐽 ∈ Rng)
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Rng
7		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		c0ex 11129	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4607	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10	7, 9	opelxpii 5662	. . . 4 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0})
11	4	subrngbas 20522	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
13	12, 2	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) = (ℤ × {0})
14	10, 13	eleqtrri 2836	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽)
15		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → ((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥))
17	16	ovanraleqv 7384	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽))
19	12	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐽))
20	1, 2, 4	pzriprnglem6 21476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
21	19, 20	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
23	22	ralrimiv 3129	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
24	17, 18, 23	rspcedvdw 3568	. . 3 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥))
25	14, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
28	26, 27	isringrng 20259	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Ring ↔ (𝐽 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)))
29	6, 25, 28	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝐽 ∈ Ring

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  ℤcz 12515  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212   ×_s cxps 17461  Rngcrng 20124  Ringcrg 20205  SubRngcsubrng 20513  ℤ_ringczring 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-cnfld 21345  df-zring 21437

This theorem is referenced by:  pzriprnglem9  21479  pzriprngALT  21485  pzriprng1ALT  21486