Theorem pzriprnglem7 21465

Description: Lemma 7 for pzriprng 21475: 𝐽 is a unital ring. (Contributed by AV, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem7	⊢ 𝐽 ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprnglem7

Dummy variables 𝑥 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
2		pzriprng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
3	1, 2	pzriprnglem5 21463	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
4		pzriprng.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5	4	subrngrng 20525	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐽 ∈ Rng)
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Rng
7		1z 12552	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
8		c0ex 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4596	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10	7, 9	opelxpii 5658	. . . 4 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0})
11	4	subrngbas 20529	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
12	3, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
13	12, 2	eqtr3i 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐽) = (ℤ × {0})
14	10, 13	eleqtrri 2840	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽)
15		oveq1 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥))
16	15	eqeq1d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → ((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ↔ (⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥))
17	16	ovanraleqv 7383	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ⟨1, 0⟩ → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽))
19	12	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐽))
20	1, 2, 4	pzriprnglem6 21464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
21	19, 20	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐽) → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)))
23	22	ralrimiv 3132	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
24	17, 18, 23	rspcedvdw 3564	. . 3 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (Base‘𝐽) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥))
25	14, 24	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)
26		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
27		eqid 2741	. . 3 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
28	26, 27	isringrng 20262	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Ring ↔ (𝐽 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐽)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐽)((𝑖(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)𝑖) = 𝑥)))
29	6, 25, 28	mpbir2an 718	1 ⊢ 𝐽 ∈ Ring

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {csn 4557  ⟨cop 4563   × cxp 5618  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034  1c1 11035  ℤcz 12519  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  ._rcmulr 17216   ×_s cxps 17465  Rngcrng 20127  Ringcrg 20208  SubRngcsubrng 20520  ℤ_ringczring 21424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-addf 11113  ax-mulf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-cnfld 21351  df-zring 21425

This theorem is referenced by:  pzriprnglem9  21467  pzriprngALT  21473  pzriprng1ALT  21474