Theorem subgbas 19227

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19224	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17323	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  SubGrpcsubg 19217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12252  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-subg 19220

This theorem is used by:  subg0  19229  subginv  19230  subg0cl  19231  subginvcl  19232  subgcl  19233  subgsub  19236  subgmulg  19238  issubg2  19239  subsubg  19247  nmznsg  19265  subgga  19401  gasubg  19403  odsubdvds  19672  pgp0  19697  subgpgp  19698  sylow2blem2  19722  sylow2blem3  19723  slwhash  19725  fislw  19726  sylow3lem4  19731  sylow3lem6  19733  subglsm  19774  pj1ghm  19804  subgabl  19937  cycsubgcyg  20002  subgdmdprd  20137  ablfacrplem  20168  ablfac1c  20174  pgpfaclem1  20184  pgpfaclem2  20185  pgpfaclem3  20186  ablfaclem3  20190  ablfac2  20192  subrngbas  20690  issubrng2  20694  subrgbas  20717  issubrg2  20728  pj1lmhm  21258  phssip  21845  scmatsgrp1  22716  subgtgp  24299  subgnm  24827  subgngp  24829  lssnlm  24895  cmscsscms  25569  cssbn  25571  reefgim  26650  efabl  26752