Theorem subgbas 19162

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19159	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17264	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256  SubGrpcsubg 19152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-1cn 11124  ax-addcl 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-nn 12204  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-subg 19155

This theorem is referenced by:  subg0  19164  subginv  19165  subg0cl  19166  subginvcl  19167  subgcl  19168  subgsub  19170  subgmulg  19172  issubg2  19173  subsubg  19181  nmznsg  19199  subgga  19330  gasubg  19332  odsubdvds  19601  pgp0  19626  subgpgp  19627  sylow2blem2  19651  sylow2blem3  19652  slwhash  19654  fislw  19655  sylow3lem4  19660  sylow3lem6  19662  subglsm  19703  pj1ghm  19733  subgabl  19866  cycsubgcyg  19931  subgdmdprd  20066  ablfacrplem  20097  ablfac1c  20103  pgpfaclem1  20113  pgpfaclem2  20114  pgpfaclem3  20115  ablfaclem3  20119  ablfac2  20121  subrngbas  20590  issubrng2  20594  subrgbas  20617  issubrg2  20628  pj1lmhm  21154  phssip  21697  scmatsgrp1  22569  subgtgp  24152  subgnm  24680  subgngp  24682  lssnlm  24748  cmscsscms  25422  cssbn  25424  reefgim  26500  efabl  26602