Theorem subgbas 19097

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19094	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17199	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  SubGrpcsubg 19087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-subg 19090

This theorem is referenced by:  subg0  19099  subginv  19100  subg0cl  19101  subginvcl  19102  subgcl  19103  subgsub  19105  subgmulg  19107  issubg2  19108  subsubg  19116  nmznsg  19134  subgga  19266  gasubg  19268  odsubdvds  19537  pgp0  19562  subgpgp  19563  sylow2blem2  19587  sylow2blem3  19588  slwhash  19590  fislw  19591  sylow3lem4  19596  sylow3lem6  19598  subglsm  19639  pj1ghm  19669  subgabl  19802  cycsubgcyg  19867  subgdmdprd  20002  ablfacrplem  20033  ablfac1c  20039  pgpfaclem1  20049  pgpfaclem2  20050  pgpfaclem3  20051  ablfaclem3  20055  ablfac2  20057  subrngbas  20522  issubrng2  20526  subrgbas  20549  issubrg2  20560  pj1lmhm  21087  phssip  21648  scmatsgrp1  22497  subgtgp  24080  subgnm  24608  subgngp  24610  lssnlm  24676  cmscsscms  25350  cssbn  25352  reefgim  26428  efabl  26527