Theorem subgbas 18275

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2819	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 18272	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 16547	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  SubGrpcsubg 18265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-nn 11631  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-subg 18268

This theorem is referenced by:  subg0  18277  subginv  18278  subg0cl  18279  subginvcl  18280  subgcl  18281  subgsub  18283  subgmulg  18285  issubg2  18286  subsubg  18294  nmznsg  18312  subgga  18422  gasubg  18424  odsubdvds  18688  pgp0  18713  subgpgp  18714  sylow2blem2  18738  sylow2blem3  18739  slwhash  18741  fislw  18742  sylow3lem4  18747  sylow3lem6  18749  subglsm  18791  pj1ghm  18821  subgabl  18948  cycsubgcyg  19013  subgdmdprd  19148  ablfacrplem  19179  ablfac1c  19185  pgpfaclem1  19195  pgpfaclem2  19196  pgpfaclem3  19197  ablfaclem3  19201  ablfac2  19203  subrgbas  19536  issubrg2  19547  pj1lmhm  19864  phssip  20794  scmatsgrp1  21123  subgtgp  22705  subgnm  23234  subgngp  23236  lssnlm  23302  cmscsscms  23968  cssbn  23970  reefgim  25030  efabl  25126