Theorem subgbas 19372

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19369	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17448	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  SubGrpcsubg 19362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-subg 19365

This theorem is used by:  subg0  19374  subginv  19375  subg0cl  19376  subginvcl  19377  subgcl  19378  subgsub  19381  subgmulg  19383  issubg2  19384  subsubg  19392  nmznsg  19410  subgga  19547  gasubg  19549  odsubdvds  19818  pgp0  19843  subgpgp  19844  sylow2blem2  19868  sylow2blem3  19869  slwhash  19871  fislw  19872  sylow3lem4  19877  sylow3lem6  19879  subglsm  19920  pj1ghm  19950  subgabl  20083  cycsubgcyg  20148  subgdmdprd  20283  ablfacrplem  20314  ablfac1c  20320  pgpfaclem1  20330  pgpfaclem2  20331  pgpfaclem3  20332  ablfaclem3  20336  ablfac2  20338  subrngbas  20839  issubrng2  20843  subrgbas  20866  issubrg2  20877  pj1lmhm  21408  phssip  21997  scmatsgrp1  22870  subgtgp  24457  subgnm  24985  subgngp  24987  lssnlm  25053  cmscsscms  25727  cssbn  25729  reefgim  26810  efabl  26911