Theorem subgbas 19113

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19110	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17259	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  SubGrpcsubg 19103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-1cn 11187  ax-addcl 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12241  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-subg 19106

This theorem is referenced by:  subg0  19115  subginv  19116  subg0cl  19117  subginvcl  19118  subgcl  19119  subgsub  19121  subgmulg  19123  issubg2  19124  subsubg  19132  nmznsg  19151  subgga  19283  gasubg  19285  odsubdvds  19552  pgp0  19577  subgpgp  19578  sylow2blem2  19602  sylow2blem3  19603  slwhash  19605  fislw  19606  sylow3lem4  19611  sylow3lem6  19613  subglsm  19654  pj1ghm  19684  subgabl  19817  cycsubgcyg  19882  subgdmdprd  20017  ablfacrplem  20048  ablfac1c  20054  pgpfaclem1  20064  pgpfaclem2  20065  pgpfaclem3  20066  ablfaclem3  20070  ablfac2  20072  subrngbas  20514  issubrng2  20518  subrgbas  20541  issubrg2  20552  pj1lmhm  21058  phssip  21618  scmatsgrp1  22460  subgtgp  24043  subgnm  24572  subgngp  24574  lssnlm  24640  cmscsscms  25325  cssbn  25327  reefgim  26412  efabl  26511