Theorem subgbas 17956

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 17953	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 16301	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  SubGrpcsubg 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-1cn 10317  ax-addcl 10319

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-nn 11358  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-subg 17949

This theorem is referenced by:  subg0  17958  subginv  17959  subg0cl  17960  subginvcl  17961  subgcl  17962  subgsub  17964  subgmulg  17966  issubg2  17967  subsubg  17975  nmznsg  17996  subgga  18090  gasubg  18092  odsubdvds  18344  pgp0  18369  subgpgp  18370  sylow2blem2  18394  sylow2blem3  18395  slwhash  18397  fislw  18398  sylow3lem4  18403  sylow3lem6  18405  subglsm  18444  pj1ghm  18474  subgabl  18601  cycsubgcyg  18662  subgdmdprd  18794  ablfacrplem  18825  ablfac1c  18831  pgpfaclem1  18841  pgpfaclem2  18842  pgpfaclem3  18843  ablfaclem3  18847  ablfac2  18849  subrgbas  19152  issubrg2  19163  pj1lmhm  19466  phssip  20372  scmatsgrp1  20703  subgtgp  22286  subgnm  22814  subgngp  22816  lssnlm  22882  cmscsscms  23548  cssbn  23550  reefgim  24610  efabl  24703