Theorem subgbas 19009

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19006	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17181	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  SubGrpcsubg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-subg 19002

This theorem is referenced by:  subg0  19011  subginv  19012  subg0cl  19013  subginvcl  19014  subgcl  19015  subgsub  19017  subgmulg  19019  issubg2  19020  subsubg  19028  nmznsg  19047  subgga  19163  gasubg  19165  odsubdvds  19438  pgp0  19463  subgpgp  19464  sylow2blem2  19488  sylow2blem3  19489  slwhash  19491  fislw  19492  sylow3lem4  19497  sylow3lem6  19499  subglsm  19540  pj1ghm  19570  subgabl  19703  cycsubgcyg  19768  subgdmdprd  19903  ablfacrplem  19934  ablfac1c  19940  pgpfaclem1  19950  pgpfaclem2  19951  pgpfaclem3  19952  ablfaclem3  19956  ablfac2  19958  subrgbas  20327  issubrg2  20338  pj1lmhm  20710  phssip  21210  scmatsgrp1  22023  subgtgp  23608  subgnm  24141  subgngp  24143  lssnlm  24217  cmscsscms  24889  cssbn  24891  reefgim  25961  efabl  26058  subrngbas  46723  issubrng2  46727