Theorem subgbas 19320

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19317	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17396	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  SubGrpcsubg 19310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-subg 19313

This theorem is used by:  subg0  19322  subginv  19323  subg0cl  19324  subginvcl  19325  subgcl  19326  subgsub  19329  subgmulg  19331  issubg2  19332  subsubg  19340  nmznsg  19358  subgga  19494  gasubg  19496  odsubdvds  19765  pgp0  19790  subgpgp  19791  sylow2blem2  19815  sylow2blem3  19816  slwhash  19818  fislw  19819  sylow3lem4  19824  sylow3lem6  19826  subglsm  19867  pj1ghm  19897  subgabl  20030  cycsubgcyg  20095  subgdmdprd  20230  ablfacrplem  20261  ablfac1c  20267  pgpfaclem1  20277  pgpfaclem2  20278  pgpfaclem3  20279  ablfaclem3  20283  ablfac2  20285  subrngbas  20786  issubrng2  20790  subrgbas  20813  issubrg2  20824  pj1lmhm  21355  phssip  21944  scmatsgrp1  22817  subgtgp  24404  subgnm  24932  subgngp  24934  lssnlm  25000  cmscsscms  25674  cssbn  25676  reefgim  26759  efabl  26860