Theorem subgbas 18501

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 18498	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 16739	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666   ↾_s cress 16667  SubGrpcsubg 18491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-1cn 10752  ax-addcl 10754

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-nn 11796  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-subg 18494

This theorem is referenced by:  subg0  18503  subginv  18504  subg0cl  18505  subginvcl  18506  subgcl  18507  subgsub  18509  subgmulg  18511  issubg2  18512  subsubg  18520  nmznsg  18538  subgga  18648  gasubg  18650  odsubdvds  18914  pgp0  18939  subgpgp  18940  sylow2blem2  18964  sylow2blem3  18965  slwhash  18967  fislw  18968  sylow3lem4  18973  sylow3lem6  18975  subglsm  19017  pj1ghm  19047  subgabl  19175  cycsubgcyg  19240  subgdmdprd  19375  ablfacrplem  19406  ablfac1c  19412  pgpfaclem1  19422  pgpfaclem2  19423  pgpfaclem3  19424  ablfaclem3  19428  ablfac2  19430  subrgbas  19763  issubrg2  19774  pj1lmhm  20091  phssip  20574  scmatsgrp1  21373  subgtgp  22956  subgnm  23485  subgngp  23487  lssnlm  23553  cmscsscms  24224  cssbn  24226  reefgim  25296  efabl  25393