Theorem subgbas 19004

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19001	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17178	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  SubGrpcsubg 18994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-nn 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-subg 18997

This theorem is referenced by:  subg0  19006  subginv  19007  subg0cl  19008  subginvcl  19009  subgcl  19010  subgsub  19012  subgmulg  19014  issubg2  19015  subsubg  19023  nmznsg  19042  subgga  19158  gasubg  19160  odsubdvds  19432  pgp0  19457  subgpgp  19458  sylow2blem2  19482  sylow2blem3  19483  slwhash  19485  fislw  19486  sylow3lem4  19491  sylow3lem6  19493  subglsm  19534  pj1ghm  19564  subgabl  19696  cycsubgcyg  19761  subgdmdprd  19896  ablfacrplem  19927  ablfac1c  19933  pgpfaclem1  19943  pgpfaclem2  19944  pgpfaclem3  19945  ablfaclem3  19949  ablfac2  19951  subrgbas  20360  issubrg2  20371  pj1lmhm  20699  phssip  21195  scmatsgrp1  22006  subgtgp  23591  subgnm  24124  subgngp  24126  lssnlm  24200  cmscsscms  24872  cssbn  24874  reefgim  25944  efabl  26041  subrngbas  46666  issubrng2  46670