Theorem subgbas 19104

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19101	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17206	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  SubGrpcsubg 19094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-nn 12173  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-subg 19097

This theorem is referenced by:  subg0  19106  subginv  19107  subg0cl  19108  subginvcl  19109  subgcl  19110  subgsub  19112  subgmulg  19114  issubg2  19115  subsubg  19123  nmznsg  19141  subgga  19273  gasubg  19275  odsubdvds  19544  pgp0  19569  subgpgp  19570  sylow2blem2  19594  sylow2blem3  19595  slwhash  19597  fislw  19598  sylow3lem4  19603  sylow3lem6  19605  subglsm  19646  pj1ghm  19676  subgabl  19809  cycsubgcyg  19874  subgdmdprd  20009  ablfacrplem  20040  ablfac1c  20046  pgpfaclem1  20056  pgpfaclem2  20057  pgpfaclem3  20058  ablfaclem3  20062  ablfac2  20064  subrngbas  20533  issubrng2  20537  subrgbas  20560  issubrg2  20571  pj1lmhm  21097  phssip  21640  scmatsgrp1  22512  subgtgp  24095  subgnm  24623  subgngp  24625  lssnlm  24691  cmscsscms  25365  cssbn  25367  reefgim  26440  efabl  26539