MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgbas 18940
Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subgbas (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21subgss 18937 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3 subggrp.h . . 3 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
43, 1ressbas2 17128 . 2 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
52, 4syl 17 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  s cress 17120  SubGrpcsubg 18930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-subg 18933
This theorem is referenced by:  subg0  18942  subginv  18943  subg0cl  18944  subginvcl  18945  subgcl  18946  subgsub  18948  subgmulg  18950  issubg2  18951  subsubg  18959  nmznsg  18978  subgga  19088  gasubg  19090  odsubdvds  19361  pgp0  19386  subgpgp  19387  sylow2blem2  19411  sylow2blem3  19412  slwhash  19414  fislw  19415  sylow3lem4  19420  sylow3lem6  19422  subglsm  19463  pj1ghm  19493  subgabl  19622  cycsubgcyg  19686  subgdmdprd  19821  ablfacrplem  19852  ablfac1c  19858  pgpfaclem1  19868  pgpfaclem2  19869  pgpfaclem3  19870  ablfaclem3  19874  ablfac2  19876  subrgbas  20273  issubrg2  20284  pj1lmhm  20605  phssip  21085  scmatsgrp1  21894  subgtgp  23479  subgnm  24012  subgngp  24014  lssnlm  24088  cmscsscms  24760  cssbn  24762  reefgim  25832  efabl  25929
  Copyright terms: Public domain W3C validator