Theorem subgbas 19192

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19189	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17294	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  SubGrpcsubg 19182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-subg 19185

This theorem is referenced by:  subg0  19194  subginv  19195  subg0cl  19196  subginvcl  19197  subgcl  19198  subgsub  19201  subgmulg  19203  issubg2  19204  subsubg  19212  nmznsg  19230  subgga  19366  gasubg  19368  odsubdvds  19637  pgp0  19662  subgpgp  19663  sylow2blem2  19687  sylow2blem3  19688  slwhash  19690  fislw  19691  sylow3lem4  19696  sylow3lem6  19698  subglsm  19739  pj1ghm  19769  subgabl  19902  cycsubgcyg  19967  subgdmdprd  20102  ablfacrplem  20133  ablfac1c  20139  pgpfaclem1  20149  pgpfaclem2  20150  pgpfaclem3  20151  ablfaclem3  20155  ablfac2  20157  subrngbas  20635  issubrng2  20639  subrgbas  20662  issubrg2  20673  pj1lmhm  21195  phssip  21773  scmatsgrp1  22644  subgtgp  24227  subgnm  24755  subgngp  24757  lssnlm  24823  cmscsscms  25497  cssbn  25499  reefgim  26575  efabl  26677