Theorem subgbas 19197

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgbas	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19194	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3, 1	ressbas2 17299	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  SubGrpcsubg 19187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-subg 19190

This theorem is referenced by:  subg0  19199  subginv  19200  subg0cl  19201  subginvcl  19202  subgcl  19203  subgsub  19206  subgmulg  19208  issubg2  19209  subsubg  19217  nmznsg  19235  subgga  19371  gasubg  19373  odsubdvds  19642  pgp0  19667  subgpgp  19668  sylow2blem2  19692  sylow2blem3  19693  slwhash  19695  fislw  19696  sylow3lem4  19701  sylow3lem6  19703  subglsm  19744  pj1ghm  19774  subgabl  19907  cycsubgcyg  19972  subgdmdprd  20107  ablfacrplem  20138  ablfac1c  20144  pgpfaclem1  20154  pgpfaclem2  20155  pgpfaclem3  20156  ablfaclem3  20160  ablfac2  20162  subrngbas  20640  issubrng2  20644  subrgbas  20667  issubrg2  20678  pj1lmhm  21202  phssip  21789  scmatsgrp1  22660  subgtgp  24243  subgnm  24771  subgngp  24773  lssnlm  24839  cmscsscms  25513  cssbn  25515  reefgim  26594  efabl  26696