Theorem pzriprnglem9 21775

Description: Lemma 9 for pzriprng 21783: The ring unity of the ring 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem9	⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Proof of Theorem pzriprnglem9

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12707	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		c0ex 11281	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4623	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0}
4		pzriprng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
5	4	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6		opelxp 5687	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
8	1, 3, 7	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼
9		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
10		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 4, 10	pzriprnglem6 21772	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
12	11	rgen 3079	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)
13	8, 12	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
14	9, 4, 10	pzriprnglem7 21773	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Ring
15	9, 4	pzriprnglem5 21771	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
16	10	subrngbas 20786	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
19		pzriprng.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
20	17, 18, 19	isringid 20480	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩))
21	14, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩)
22	13, 21	mpbi 233	1 ⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182  ℤcz 12674  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409   ×_s cxps 17658  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  SubRngcsubrng 20777  ℤ_ringczring 21732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-prds 17598  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-cnfld 21659  df-zring 21733

This theorem is used by:  pzriprng1ALT  21782