Theorem pzriprnglem9 21258

Description: Lemma 9 for pzriprng 21266: The ring unity of the ring 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem9	⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Proof of Theorem pzriprnglem9

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12596	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		c0ex 11212	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4663	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0}
4		pzriprng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
5	4	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6		opelxp 5711	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 274	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
8	1, 3, 7	mpbir2an 707	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼
9		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
10		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 4, 10	pzriprnglem6 21255	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
12	11	rgen 3061	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)
13	8, 12	pm3.2i 469	. 2 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
14	9, 4, 10	pzriprnglem7 21256	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Ring
15	9, 4	pzriprnglem5 21254	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
16	10	subrngbas 20442	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
19		pzriprng.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
20	17, 18, 19	isringid 20159	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩))
21	14, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩)
22	13, 21	mpbi 229	1 ⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  {csn 4627  ⟨cop 4633   × cxp 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  ℤcz 12562  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  ._rcmulr 17202   ×_s cxps 17456  1_rcur 20075  Ringcrg 20127  SubRngcsubrng 20433  ℤ_ringczring 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-cnfld 21145  df-zring 21218

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21265