Theorem pzriprnglem9 21800

Description: Lemma 9 for pzriprng 21808: The ring unity of the ring 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem9	⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Proof of Theorem pzriprnglem9

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12729	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4619	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0}
4		pzriprng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
5	4	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6		opelxp 5686	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 278	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
8	1, 3, 7	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼
9		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
10		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 4, 10	pzriprnglem6 21797	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
12	11	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)
13	8, 12	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
14	9, 4, 10	pzriprnglem7 21798	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Ring
15	9, 4	pzriprnglem5 21796	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
16	10	subrngbas 20811	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
19		pzriprng.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
20	17, 18, 19	isringid 20505	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩))
21	14, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩)
22	13, 21	mpbi 233	1 ⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {csn 4584  ⟨cop 4834   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  ℤcz 12696  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  ._rcmulr 17434   ×_s cxps 17683  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  SubRngcsubrng 20802  ℤ_ringczring 21757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-prds 17623  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-subg 19338  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-cnfld 21684  df-zring 21758

This theorem is used by:  pzriprng1ALT  21807