Theorem pzriprnglem9 21419

Description: Lemma 9 for pzriprng 21427: The ring unity of the ring 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem9	⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Proof of Theorem pzriprnglem9

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12494	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		c0ex 11098	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4613	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0}
4		pzriprng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
5	4	eleq2i 2821	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6		opelxp 5650	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
8	1, 3, 7	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼
9		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
10		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 4, 10	pzriprnglem6 21416	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
12	11	rgen 3047	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)
13	8, 12	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
14	9, 4, 10	pzriprnglem7 21417	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Ring
15	9, 4	pzriprnglem5 21415	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
16	10	subrngbas 20462	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
19		pzriprng.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
20	17, 18, 19	isringid 20182	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩))
21	14, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩)
22	13, 21	mpbi 230	1 ⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  {csn 4574  ⟨cop 4580   × cxp 5612  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999  ℤcz 12460  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  ._rcmulr 17154   ×_s cxps 17402  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  SubRngcsubrng 20453  ℤ_ringczring 21376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-addf 11077  ax-mulf 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-prds 17343  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-subg 19028  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-cnfld 21285  df-zring 21377

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21426