Theorem pzriprnglem9 21448

Description: Lemma 9 for pzriprng 21456: The ring unity of the ring 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem9	⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Proof of Theorem pzriprnglem9

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12620	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		c0ex 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snid 4638	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {0}
4		pzriprng.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
5	4	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6		opelxp 5690	. . . . 5 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 275	. . . 4 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ {0}))
8	1, 3, 7	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼
9		pzriprng.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
10		pzriprng.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 4, 10	pzriprnglem6 21445	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
12	11	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)
13	8, 12	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥))
14	9, 4, 10	pzriprnglem7 21446	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Ring
15	9, 4	pzriprnglem5 21444	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅)
16	10	subrngbas 20512	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 = (Base‘𝐽))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Base‘𝐽)
18		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
19		pzriprng.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
20	17, 18, 19	isringid 20229	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩))
21	14, 20	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((⟨1, 0⟩(.r‘𝐽)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐽)⟨1, 0⟩) = 𝑥)) ↔ 1 = ⟨1, 0⟩)
22	13, 21	mpbi 230	1 ⊢ 1 = ⟨1, 0⟩

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {csn 4601  ⟨cop 4607   × cxp 5652  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128  ℤcz 12586  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  ._rcmulr 17270   ×_s cxps 17518  1_rcur 20139  Ringcrg 20191  SubRngcsubrng 20503  ℤ_ringczring 21405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-prds 17459  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-subg 19104  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-cnfld 21314  df-zring 21406

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21455