Theorem subrngmcl 20789

Description: A subring is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Generalization of subrgmcl 20816. (Revised by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngmcl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrngmcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrngmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrngrng 20782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
3	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng)
4		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
5	1	subrngbas 20786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
7	4, 6	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
8		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	8, 6	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	10, 11	rngcl 20366	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
13	3, 7, 9, 12	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		subrngmcl.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	1, 14	ressmulr 17458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
16	15	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → · = (.r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	16	oveqd 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(.r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
18	13, 17, 6	3eltr4d 2876	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRng‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409  Rngcrng 20354  SubRngcsubrng 20777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-subg 19313  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-subrng 20778

This theorem is used by:  issubrng2  20790  subrngint  20792  rhmimasubrnglem  20797  rhmimasubrng  20798  subrgmcl  20816