![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subrngmcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Generalization of subrgmcl 20527. (Revised by AV, 14-Feb-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
subrngmcl.p | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
subrngmcl | โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2725 | . . . . 5 โข (๐ โพs ๐ด) = (๐ โพs ๐ด) | |
2 | 1 | subrngrng 20491 | . . . 4 โข (๐ด โ (SubRngโ๐ ) โ (๐ โพs ๐ด) โ Rng) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ โพs ๐ด) โ Rng) |
4 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ด) | |
5 | 1 | subrngbas 20495 | . . . . 5 โข (๐ด โ (SubRngโ๐ ) โ ๐ด = (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
6 | 5 | 3ad2ant1 1130 | . . . 4 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ด = (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
7 | 4, 6 | eleqtrd 2827 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
8 | simp3 1135 | . . . 4 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ด) | |
9 | 8, 6 | eleqtrd 2827 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
10 | eqid 2725 | . . . 4 โข (Baseโ(๐ โพs ๐ด)) = (Baseโ(๐ โพs ๐ด)) | |
11 | eqid 2725 | . . . 4 โข (.rโ(๐ โพs ๐ด)) = (.rโ(๐ โพs ๐ด)) | |
12 | 10, 11 | rngcl 20108 | . . 3 โข (((๐ โพs ๐ด) โ Rng โง ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด)) โง ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) โ (๐(.rโ(๐ โพs ๐ด))๐) โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
13 | 3, 7, 9, 12 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐(.rโ(๐ โพs ๐ด))๐) โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
14 | subrngmcl.p | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
15 | 1, 14 | ressmulr 17287 | . . . 4 โข (๐ด โ (SubRngโ๐ ) โ ยท = (.rโ(๐ โพs ๐ด))) |
16 | 15 | 3ad2ant1 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ยท = (.rโ(๐ โพs ๐ด))) |
17 | 16 | oveqd 7433 | . 2 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ ยท ๐) = (๐(.rโ(๐ โพs ๐ด))๐)) |
18 | 13, 17, 6 | 3eltr4d 2840 | 1 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6543 (class class class)co 7416 Basecbs 17179 โพs cress 17208 .rcmulr 17233 Rngcrng 20096 SubRngcsubrng 20486 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-subg 19082 df-abl 19742 df-mgp 20079 df-rng 20097 df-subrng 20487 |
This theorem is referenced by: issubrng2 20499 subrngint 20501 rhmimasubrnglem 20506 rhmimasubrng 20507 subrgmcl 20527 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |