![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subrngmcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) Generalization of subrgmcl 20486. (Revised by AV, 14-Feb-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
subrngmcl.p | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
subrngmcl | โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (๐ โพs ๐ด) = (๐ โพs ๐ด) | |
2 | 1 | subrngrng 20450 | . . . 4 โข (๐ด โ (SubRngโ๐ ) โ (๐ โพs ๐ด) โ Rng) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ โพs ๐ด) โ Rng) |
4 | simp2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ด) | |
5 | 1 | subrngbas 20454 | . . . . 5 โข (๐ด โ (SubRngโ๐ ) โ ๐ด = (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
6 | 5 | 3ad2ant1 1130 | . . . 4 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ด = (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
7 | 4, 6 | eleqtrd 2829 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
8 | simp3 1135 | . . . 4 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ด) | |
9 | 8, 6 | eleqtrd 2829 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
10 | eqid 2726 | . . . 4 โข (Baseโ(๐ โพs ๐ด)) = (Baseโ(๐ โพs ๐ด)) | |
11 | eqid 2726 | . . . 4 โข (.rโ(๐ โพs ๐ด)) = (.rโ(๐ โพs ๐ด)) | |
12 | 10, 11 | rngcl 20069 | . . 3 โข (((๐ โพs ๐ด) โ Rng โง ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด)) โง ๐ โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) โ (๐(.rโ(๐ โพs ๐ด))๐) โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
13 | 3, 7, 9, 12 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐(.rโ(๐ โพs ๐ด))๐) โ (Baseโ(๐ โพs ๐ด))) |
14 | subrngmcl.p | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
15 | 1, 14 | ressmulr 17261 | . . . 4 โข (๐ด โ (SubRngโ๐ ) โ ยท = (.rโ(๐ โพs ๐ด))) |
16 | 15 | 3ad2ant1 1130 | . . 3 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ ยท = (.rโ(๐ โพs ๐ด))) |
17 | 16 | oveqd 7422 | . 2 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ ยท ๐) = (๐(.rโ(๐ โพs ๐ด))๐)) |
18 | 13, 17, 6 | 3eltr4d 2842 | 1 โข ((๐ด โ (SubRngโ๐ ) โง ๐ โ ๐ด โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Basecbs 17153 โพs cress 17182 .rcmulr 17207 Rngcrng 20057 SubRngcsubrng 20445 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-subg 19050 df-abl 19703 df-mgp 20040 df-rng 20058 df-subrng 20446 |
This theorem is referenced by: issubrng2 20458 subrngint 20460 rhmimasubrnglem 20465 rhmimasubrng 20466 subrgmcl 20486 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |