Theorem subseq0d 28274

Description: The difference between two surreals is zero iff they are equal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subseq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subseq0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subseq0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = 0s ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subseq0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subseq0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		subsid 28238	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 -s 𝐵) = 0s )
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐵) = 0s )
4	3	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = (𝐵 -s 𝐵) ↔ (𝐴 -s 𝐵) = 0s ))
5		subseq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	5, 1, 1	subscan2d 28273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = (𝐵 -s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
7	4, 6	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = 0s ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410   No csur 27780   0_s c0s 27974   -_s csubs 28189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8452  df-2o 8453  df-nadd 8651  df-no 27783  df-lts 27784  df-bday 27785  df-les 27885  df-slts 27927  df-cuts 27929  df-0s 27976  df-made 27996  df-old 27997  df-left 27999  df-right 28000  df-norec 28107  df-norec2 28118  df-adds 28129  df-negs 28190  df-subs 28191

This theorem is referenced by:  n0subs2  28533  nnm1n0s  28544