Theorem subseq0d 28094

Description: The difference between two surreals is zero iff they are equal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subseq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subseq0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subseq0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = 0s ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subseq0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subseq0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		subsid 28058	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 -s 𝐵) = 0s )
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐵) = 0s )
4	3	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = (𝐵 -s 𝐵) ↔ (𝐴 -s 𝐵) = 0s ))
5		subseq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	5, 1, 1	subscan2d 28093	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = (𝐵 -s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
7	4, 6	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) = 0s ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7364   No csur 27600   0_s c0s 27794   -_s csubs 28009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-nadd 8599  df-no 27603  df-lts 27604  df-bday 27605  df-les 27706  df-slts 27747  df-cuts 27749  df-0s 27796  df-made 27816  df-old 27817  df-left 27819  df-right 27820  df-norec 27927  df-norec2 27938  df-adds 27949  df-negs 28010  df-subs 28011

This theorem is referenced by:  n0subs2  28353  nnm1n0s  28364