Theorem subsid 28081

Description: Subtraction of a surreal from itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subsid	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 -s 𝐴) = 0s )

Proof of Theorem subsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsval 28072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐴) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
2	1	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 -s 𝐴) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)))
3		negsid 28053	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
4	2, 3	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 -s 𝐴) = 0s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   No csur 27623   0_s c0s 27817   +_s cadds 27971   -u_s cnegs 28031   -_s csubs 28032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-nadd 8599  df-no 27626  df-lts 27627  df-bday 27628  df-les 27729  df-slts 27770  df-cuts 27772  df-0s 27819  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842  df-right 27843  df-norec 27950  df-norec2 27961  df-adds 27972  df-negs 28033  df-subs 28034

This theorem is referenced by:  subseq0d  28117  lemulsd  28150  mulsgt0  28156  precsexlem11  28229  n0subs  28375  0zs  28400  zseo  28434