Theorem t1ficld 23322

Description: In a T₁ space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1ficld	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem t1ficld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5068	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ist0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	ist1 23316	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
4	3	simplbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
5	4	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐽 ∈ Top)
6		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	3	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8		ssralv 4048	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
9	7, 8	mpan9 505	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
10	9	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
11	2	iuncld 23040	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
13	1, 12	eqeltrrid 2831	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3947  {csn 4633  ∪ cuni 4913  ∪ ciun 5001  ‘cfv 6554  Fincfn 8974  Topctop 22886  Clsdccld 23011  Frect1 23302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8496  df-2o 8497  df-en 8975  df-dom 8976  df-fin 8978  df-top 22887  df-cld 23014  df-t1 23309

This theorem is referenced by:  poimirlem30  37351