MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1ficld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem t1ficld 22830
Description: In a T1 space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
t1ficld ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem t1ficld
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 5063 . 2 𝑥𝐴 {𝑥} = 𝐴
2 ist0.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
32ist1 22824 . . . . 5 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
43simplbi 498 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
543ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐽 ∈ Top)
6 simp3 1138 . . 3 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
73simprbi 497 . . . . 5 (𝐽 ∈ Fre → ∀𝑥𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8 ssralv 4050 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (∀𝑥𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
97, 8mpan9 507 . . . 4 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
1093adant3 1132 . . 3 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
112iuncld 22548 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
125, 6, 10, 11syl3anc 1371 . 2 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
131, 12eqeltrrid 2838 1 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3948  {csn 4628   cuni 4908   ciun 4997  cfv 6543  Fincfn 8938  Topctop 22394  Clsdccld 22519  Frect1 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-top 22395  df-cld 22522  df-t1 22817
This theorem is referenced by:  poimirlem30  36513
  Copyright terms: Public domain W3C validator