Theorem t1ficld 23220

Description: In a T₁ space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1ficld	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem t1ficld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5026	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ist0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	ist1 23214	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
4	3	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
5	4	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐽 ∈ Top)
6		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8		ssralv 4017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
9	7, 8	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
10	9	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
11	2	iuncld 22938	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
13	1, 12	eqeltrrid 2834	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3916  {csn 4591  ∪ cuni 4873  ∪ ciun 4957  ‘cfv 6513  Fincfn 8920  Topctop 22786  Clsdccld 22909  Frect1 23200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8436  df-2o 8437  df-en 8921  df-dom 8922  df-fin 8924  df-top 22787  df-cld 22912  df-t1 23207

This theorem is referenced by:  poimirlem30  37639