Theorem t1ficld 23645

Description: In a T₁ space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1ficld	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem t1ficld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5018	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ist0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	ist1 23639	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
4	3	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
5	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐽 ∈ Top)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	3	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8		ssralv 3977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
9	7, 8	mpan9 516	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
10	9	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
11	2	iuncld 23363	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
13	1, 12	eqeltrrid 2865	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  {csn 4583  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  ‘cfv 6538  Fincfn 8973  Topctop 23211  Clsdccld 23334  Frect1 23625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-2o 8477  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-top 23212  df-cld 23337  df-t1 23632

This theorem is used by:  poimirlem30  38569