Theorem t1ficld 23672

Description: In a T₁ space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1ficld	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem t1ficld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunid 5022	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} = 𝐴
2		ist0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	ist1 23666	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
4	3	simplbi 502	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
5	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐽 ∈ Top)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	3	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8		ssralv 3982	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
9	7, 8	mpan9 516	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
10	9	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
11	2	iuncld 23390	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
12	5, 6, 10, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
13	1, 12	eqeltrrid 2869	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954  ‘cfv 6555  Fincfn 8998  Topctop 23238  Clsdccld 23361  Frect1 23652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-1o 8501  df-2o 8502  df-en 8999  df-dom 9000  df-fin 9002  df-top 23239  df-cld 23364  df-t1 23659

This theorem is used by:  poimirlem30  38759