Theorem toplly 23425

Description: A topology is locally a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toplly	⊢ Locally Top = Top

Proof of Theorem toplly

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 23407	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ Locally Top → 𝑗 ∈ Top)
2	1	ssriv 3934	. 2 ⊢ Locally Top ⊆ Top
3		resttop 23095	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑗) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Top)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑗)) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Top)
5		ssidd 3954	. . . 4 ⊢ (⊤ → Top ⊆ Top)
6	4, 5	restlly 23418	. . 3 ⊢ (⊤ → Top ⊆ Locally Top)
7	6	mptru 1548	. 2 ⊢ Top ⊆ Locally Top
8	2, 7	eqssi 3947	1 ⊢ Locally Top = Top

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  (class class class)co 7355   ↾_t crest 17331  Topctop 22828  Locally clly 23399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-en 8880  df-fin 8883  df-fi 9306  df-rest 17333  df-topgen 17354  df-top 22829  df-bases 22881  df-lly 23401

This theorem is referenced by:  topnlly  23426