Theorem toplly 23547

Description: A topology is locally a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toplly	⊢ Locally Top = Top

Proof of Theorem toplly

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 23529	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ Locally Top → 𝑗 ∈ Top)
2	1	ssriv 3940	. 2 ⊢ Locally Top ⊆ Top
3		resttop 23217	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑗) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Top)
4	3	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑗)) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Top)
5		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ (⊤ → Top ⊆ Top)
6	4, 5	restlly 23540	. . 3 ⊢ (⊤ → Top ⊆ Locally Top)
7	6	mptru 1567	. 2 ⊢ Top ⊆ Locally Top
8	2, 7	eqssi 3952	1 ⊢ Locally Top = Top

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7396   ↾_t crest 17449  Topctop 22950  Locally clly 23521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-en 8928  df-fin 8931  df-fi 9357  df-rest 17451  df-topgen 17472  df-top 22951  df-bases 23003  df-lly 23523

This theorem is referenced by:  topnlly  23548