Theorem toplly 23353

Description: A topology is locally a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toplly	⊢ Locally Top = Top

Proof of Theorem toplly

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 23335	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ Locally Top → 𝑗 ∈ Top)
2	1	ssriv 3947	. 2 ⊢ Locally Top ⊆ Top
3		resttop 23023	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑗) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Top)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝑗)) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Top)
5		ssidd 3967	. . . 4 ⊢ (⊤ → Top ⊆ Top)
6	4, 5	restlly 23346	. . 3 ⊢ (⊤ → Top ⊆ Locally Top)
7	6	mptru 1547	. 2 ⊢ Top ⊆ Locally Top
8	2, 7	eqssi 3960	1 ⊢ Locally Top = Top

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  (class class class)co 7369   ↾_t crest 17359  Topctop 22756  Locally clly 23327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9338  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-top 22757  df-bases 22809  df-lly 23329

This theorem is referenced by:  topnlly  23354