Theorem un0addcl 12461

Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2	⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
2	1	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ 𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3		elun 4094	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
5	1	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6		elun 4094	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
8		ssun1 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
9	8, 1	sseqtrri 3972	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
12	11	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
16	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
17	16	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ 𝑇)
18	15, 17	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19		elsni 4585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
20	19	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
21	20	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
22	18, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
23	22	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ {0}) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
24	12, 23	jaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0})) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
25	7, 24	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26		0cnd 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
27	26	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
28	13, 27	unssd 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
29	1, 28	eqsstrid 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
30	29	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	addridd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ 𝑇)
33	31, 32	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34		elsni 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
35	34	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
36	35	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
37	33, 36	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
38	25, 37	jaod 860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → ((𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
39	4, 38	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
40	39	impr 454	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   + caddc 11032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  nn0addcl  12463  plyaddlem  26190  plymullem  26191