Theorem un0addcl 12482

Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2	⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
2	1	eleq2i 2821	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ 𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3		elun 4119	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
4	2, 3	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
5	1	eleq2i 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6		elun 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
8		ssun1 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
9	8, 1	sseqtrri 3999	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
12	11	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
16	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
17	16	sselda 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ 𝑇)
18	15, 17	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19		elsni 4609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
20	19	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
21	20	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
22	18, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
23	22	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ {0}) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
24	12, 23	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0})) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
25	7, 24	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26		0cnd 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
27	26	snssd 4776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
28	13, 27	unssd 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
29	1, 28	eqsstrid 3988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
30	29	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	addridd 11381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ 𝑇)
33	31, 32	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34		elsni 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
35	34	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
36	35	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
37	33, 36	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
38	25, 37	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → ((𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
39	4, 38	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
40	39	impr 454	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  {csn 4592  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  nn0addcl  12484  plyaddlem  26127  plymullem  26128