Theorem un0addcl 12545

Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2	⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
2	1	eleq2i 2821	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ 𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3		elun 4149	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
4	2, 3	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
5	1	eleq2i 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6		elun 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
8		ssun1 4174	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
9	8, 1	sseqtrri 4019	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sselid 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
12	11	expr 455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	addlidd 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
16	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
17	16	sselda 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ 𝑇)
18	15, 17	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19		elsni 4649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
20	19	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
21	20	eleq1d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
22	18, 21	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
23	22	impancom 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ {0}) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
24	12, 23	jaodan 955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0})) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
25	7, 24	sylan2b 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26		0cnd 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
27	26	snssd 4817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
28	13, 27	unssd 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
29	1, 28	eqsstrid 4030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
30	29	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	addridd 11454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ 𝑇)
33	31, 32	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34		elsni 4649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
35	34	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
36	35	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
37	33, 36	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
38	25, 37	jaod 857	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → ((𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
39	4, 38	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
40	39	impr 453	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4632  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  0cc0 11148   + caddc 11151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293

This theorem is referenced by:  nn0addcl  12547  plyaddlem  26177  plymullem  26178