MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  un0mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem un0mulcl 11743
Description: If 𝑆 is closed under multiplication, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0mulcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0mulcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2857 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 4014 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 267 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2857 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 4014 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 267 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 4037 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3894 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 3856 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 3858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514mul02d 10638 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) = 0)
16 ssun2 4038 . . . . . . . . . . 11 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
1716, 1sseqtr4i 3894 . . . . . . . . . 10 {0} ⊆ 𝑇
18 c0ex 10433 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1918snss 4592 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ 𝑇 ↔ {0} ⊆ 𝑇)
2017, 19mpbir 223 . . . . . . . . 9 0 ∈ 𝑇
2115, 20syl6eqel 2874 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) ∈ 𝑇)
22 elsni 4458 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2322oveq1d 6991 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2423eleq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2521, 24syl5ibrcom 239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2625impancom 444 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2712, 26jaodan 940 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
287, 27sylan2b 584 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
29 0cnd 10432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3029snssd 4616 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
3113, 30unssd 4050 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
321, 31syl5eqss 3905 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3332sselda 3858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3433mul01d 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) = 0)
3534, 20syl6eqel 2874 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) ∈ 𝑇)
36 elsni 4458 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3736oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
3837eleq1d 2850 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 · 0) ∈ 𝑇))
3935, 38syl5ibrcom 239 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4028, 39jaod 845 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
414, 40syl5bi 234 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4241impr 447 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  cun 3827  wss 3829  {csn 4441  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335   · cmul 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479
This theorem is referenced by:  nn0mulcl  11745  plymullem  24509
  Copyright terms: Public domain W3C validator