MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  un0mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem un0mulcl 12510
Description: If ๐‘† is closed under multiplication, then so is ๐‘† โˆช {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
un0addcl.2 ๐‘‡ = (๐‘† โˆช {0})
un0mulcl.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
un0mulcl ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 ๐‘‡ = (๐‘† โˆช {0})
21eleq2i 2823 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
3 elun 4147 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}) โ†” (๐‘ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘ โˆˆ {0}))
42, 3bitri 274 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘ โˆˆ {0}))
51eleq2i 2823 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘€ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
6 elun 4147 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}) โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘€ โˆˆ {0}))
75, 6bitri 274 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘€ โˆˆ {0}))
8 ssun1 4171 . . . . . . . . 9 ๐‘† โŠ† (๐‘† โˆช {0})
98, 1sseqtrri 4018 . . . . . . . 8 ๐‘† โŠ† ๐‘‡
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
119, 10sselid 3979 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)
1211expr 455 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
1413sselda 3981 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1514mul02d 11416 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
16 ssun2 4172 . . . . . . . . . . 11 {0} โŠ† (๐‘† โˆช {0})
1716, 1sseqtrri 4018 . . . . . . . . . 10 {0} โŠ† ๐‘‡
18 c0ex 11212 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ V
1918snss 4788 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ ๐‘‡ โ†” {0} โŠ† ๐‘‡)
2017, 19mpbir 230 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ ๐‘‡
2115, 20eqeltrdi 2839 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0 ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)
22 elsni 4644 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘€ = 0)
2322oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2423eleq1d 2816 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡ โ†” (0 ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
2521, 24syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
2625impancom 450 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
2712, 26jaodan 954 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘€ โˆˆ {0})) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
287, 27sylan2b 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
29 0cnd 11211 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
3029snssd 4811 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
3113, 30unssd 4185 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚)
321, 31eqsstrid 4029 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† โ„‚)
3332sselda 3981 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3433mul01d 11417 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
3534, 20eqeltrdi 2839 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘€ ยท 0) โˆˆ ๐‘‡)
36 elsni 4644 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘ = 0)
3736oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
3837eleq1d 2816 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘€ ยท 0) โˆˆ ๐‘‡))
3935, 38syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
4028, 39jaod 855 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘ โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
414, 40biimtrid 241 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
4241impr 453 1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โˆช cun 3945   โŠ† wss 3947  {csn 4627  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257
This theorem is referenced by:  nn0mulcl  12512  plymullem  25965
  Copyright terms: Public domain W3C validator