MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  un0mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem un0mulcl 12448
Description: If ๐‘† is closed under multiplication, then so is ๐‘† โˆช {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
un0addcl.2 ๐‘‡ = (๐‘† โˆช {0})
un0mulcl.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
un0mulcl ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 ๐‘‡ = (๐‘† โˆช {0})
21eleq2i 2830 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
3 elun 4109 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}) โ†” (๐‘ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘ โˆˆ {0}))
42, 3bitri 275 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘ โˆˆ {0}))
51eleq2i 2830 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โ†” ๐‘€ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}))
6 elun 4109 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (๐‘† โˆช {0}) โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘€ โˆˆ {0}))
75, 6bitri 275 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘€ โˆˆ {0}))
8 ssun1 4133 . . . . . . . . 9 ๐‘† โŠ† (๐‘† โˆช {0})
98, 1sseqtrri 3982 . . . . . . . 8 ๐‘† โŠ† ๐‘‡
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘†)
119, 10sselid 3943 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)
1211expr 458 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
1413sselda 3945 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1514mul02d 11354 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
16 ssun2 4134 . . . . . . . . . . 11 {0} โŠ† (๐‘† โˆช {0})
1716, 1sseqtrri 3982 . . . . . . . . . 10 {0} โŠ† ๐‘‡
18 c0ex 11150 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ V
1918snss 4747 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ ๐‘‡ โ†” {0} โŠ† ๐‘‡)
2017, 19mpbir 230 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ ๐‘‡
2115, 20eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0 ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)
22 elsni 4604 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘€ = 0)
2322oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2423eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡ โ†” (0 ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
2521, 24syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
2625impancom 453 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
2712, 26jaodan 957 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘€ โˆˆ {0})) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
287, 27sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
29 0cnd 11149 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
3029snssd 4770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
3113, 30unssd 4147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚)
321, 31eqsstrid 3993 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† โ„‚)
3332sselda 3945 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3433mul01d 11355 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
3534, 20eqeltrdi 2846 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘€ ยท 0) โˆˆ ๐‘‡)
36 elsni 4604 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘ = 0)
3736oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท 0))
3837eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘€ ยท 0) โˆˆ ๐‘‡))
3935, 38syl5ibrcom 247 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
4028, 39jaod 858 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐‘† โˆจ ๐‘ โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
414, 40biimtrid 241 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘‡ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡))
4241impr 456 1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  {csn 4587  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   ยท cmul 11057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  nn0mulcl  12450  plymullem  25580
  Copyright terms: Public domain W3C validator