Theorem 0mnnnnn0 12558

Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0mnnnnn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		nnel 3056	. . 3 ⊢ (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
3		df-neg 11495	. . . . . 6 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
4	3	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (0 − 𝑁) = -𝑁
5	4	eleq1i 2832	. . . 4 ⊢ ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
6		nn0ge0 12551	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
7		nnre 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	le0neg1d 11834	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
9		nngt0 12297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10		0red 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
11	10, 7	ltnled 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
12		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 ≤ 0 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
13	11, 12	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
14	9, 13	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
15	8, 14	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
16	6, 15	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
17	5, 16	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
18	2, 17	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
19	1, 18	mt4i 118	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527

This theorem is referenced by:  0nn0m1nnn0  35118