MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0mnnnnn0 12526
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 11238 . 2 0 ∈ ℝ
2 nnel 3051 . . 3 (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 𝑁) ∈ ℕ0)
3 df-neg 11469 . . . . . 6 -𝑁 = (0 − 𝑁)
43eqcomi 2736 . . . . 5 (0 − 𝑁) = -𝑁
54eleq1i 2819 . . . 4 ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 12519 . . . . 5 (-𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑁)
7 nnre 12241 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
87le0neg1d 11807 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
9 nngt0 12265 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10 0red 11239 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1110, 7ltnled 11383 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
12 pm2.21 123 . . . . . . . 8 𝑁 ≤ 0 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
1311, 12biimtrdi 252 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ)))
149, 13mpd 15 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
158, 14sylbird 260 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ -𝑁 → ¬ 0 ∈ ℝ))
166, 15syl5 34 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
175, 16biimtrid 241 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
182, 17biimtrid 241 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (0 − 𝑁) ∉ ℕ0 → ¬ 0 ∈ ℝ))
191, 18mt4i 118 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 𝑁) ∉ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2099  wnel 3041   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11129  0cc0 11130   < clt 11270  cle 11271  cmin 11466  -cneg 11467  cn 12234  0cn0 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495
This theorem is referenced by:  0nn0m1nnn0  34658
  Copyright terms: Public domain W3C validator