Theorem nn0addcl 12407

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12117	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 22	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 12373	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnaddcl 12135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 483	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0addcl 12405	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 689	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3909  (class class class)co 7352  ℂcc 11008   + caddc 11013  ℕcn 12112  ℕ₀cn0 12372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-ltxr 11153  df-nn 12113  df-n0 12373

This theorem is referenced by:  nn0addcli  12409  peano2nn0  12412  nn0addcld  12436  nn0readdcl  12438  xnn0xaddcl  13109  difelfznle  13510  elfzodifsumelfzo  13593  modsumfzodifsn  13804  expadd  13965  faclbnd4lem3  14149  faclbnd5  14152  faclbnd6  14153  facavg  14155  ccatlen  14417  ccatrn  14431  ccatalpha  14435  swrdccat2  14515  swrdswrdlem  14550  swrdswrd  14551  swrdccatin1  14571  pfxccatin12lem3  14578  splfv2a  14602  repswswrd  14630  repswccat  14632  cshwcsh2id  14675  fsumnn0cl  15581  bcxmas  15680  nn0risefaccl  15865  eftlub  15951  4sqlem1  16780  psgnunilem2  19236  sylow1lem1  19339  nn0subm  20805  expmhm  20819  psrbagaddcl  21283  psrbagaddclOLD  21284  dvnadd  25245  ply1divex  25453  coemullem  25563  coemulhi  25567  plymul0or  25593  chtublem  26511  2sqlem7  26724  crctcshwlkn0lem4  28587  clwwlkccatlem  28762  fac2xp3  40544  factwoffsmonot  40547  mhphflem  40673  fmtnofac2lem  45655  nn0mnd  46008  ply1mulgsumlem1  46362