Theorem nn0addcl 12634

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12333	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 23	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 12600	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnaddcl 12351	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0addcl 12632	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 703	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-nn 12329  df-n0 12600

This theorem is used by:  nn0addcli  12636  peano2nn0  12639  nn0addcld  12664  nn0readdcl  12666  xnn0xaddcl  13358  difelfznle  13769  elfzodifsumelfzo  13859  modsumfzodifsn  14080  expadd  14240  faclbnd4lem3  14432  faclbnd5  14435  faclbnd6  14436  facavg  14438  ccatlen  14713  ccatrn  14728  ccatalpha  14733  swrdccat2  14812  swrdswrdlem  14846  swrdswrd  14847  swrdccatin1  14867  pfxccatin12lem3  14874  splfv2a  14898  repswswrd  14928  repswccat  14930  cshwcsh2id  14972  fsumnn0cl  15895  bcxmas  15997  nn0risefaccl  16182  eftlub  16270  4sqlem1  17119  psgnunilem2  19702  sylow1lem1  19805  nn0subm  21721  expmhm  21735  psrbagaddcl  22225  dvnadd  26242  ply1divex  26448  coemullem  26562  coemulhi  26566  plymul0or  26592  chtublem  27531  2sqlem7  27744  crctcshwlkn0lem4  30395  clwwlkccatlem  30573  mhphflem  43604  fmtnofac2lem  48622  nn0mnd  49245  ply1mulgsumlem1  49467