MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addcl 11575
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 11279 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 id 22 . . 3 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3 df-n0 11539 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
4 nnaddcl 11298 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
54adantl 473 . . 3 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
62, 3, 5un0addcl 11573 . 2 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6mpan 681 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2155  wss 3732  (class class class)co 6842  cc 10187   + caddc 10192  cn 11274  0cn0 11538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-nn 11275  df-n0 11539
This theorem is referenced by:  nn0addcli  11577  peano2nn0  11580  nn0addcld  11602  nn0readdcl  11604  xnn0xaddcl  12268  difelfznle  12661  elfzodifsumelfzo  12742  modsumfzodifsn  12951  expadd  13109  faclbnd4lem3  13286  faclbnd5  13289  faclbnd6  13290  facavg  13292  ccatlen  13546  ccatalpha  13564  swrdswrdlem  13691  swrdswrd  13692  swrdccatin1  13729  swrdccatin12lem3  13738  swrdccatidOLD  13753  splfv2a  13778  splfv2aOLD  13779  repswswrd  13808  repswccat  13810  cshwcsh2id  13859  fsumnn0cl  14754  bcxmas  14853  nn0risefaccl  15037  eftlub  15123  4sqlem1  15933  psgnunilem2  18181  sylow1lem1  18279  psrbagaddcl  19644  nn0subm  20074  expmhm  20088  dvnadd  23983  ply1divex  24187  coemullem  24297  coemulhi  24301  plymul0or  24327  chtublem  25227  2sqlem7  25440  crctcshwlkn0lem4  26997  clwwlkccatlem  27195  fmtnofac2lem  42088  ply1mulgsumlem1  42775
  Copyright terms: Public domain W3C validator