MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addcl 12449
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 12159 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 id 22 . . 3 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3 df-n0 12415 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
4 nnaddcl 12177 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
54adantl 483 . . 3 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
62, 3, 5un0addcl 12447 . 2 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6mpan 689 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3911  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cn 12154  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  nn0addcli  12451  peano2nn0  12454  nn0addcld  12478  nn0readdcl  12480  xnn0xaddcl  13155  difelfznle  13556  elfzodifsumelfzo  13639  modsumfzodifsn  13850  expadd  14011  faclbnd4lem3  14196  faclbnd5  14199  faclbnd6  14200  facavg  14202  ccatlen  14464  ccatrn  14478  ccatalpha  14482  swrdccat2  14558  swrdswrdlem  14593  swrdswrd  14594  swrdccatin1  14614  pfxccatin12lem3  14621  splfv2a  14645  repswswrd  14673  repswccat  14675  cshwcsh2id  14718  fsumnn0cl  15622  bcxmas  15721  nn0risefaccl  15906  eftlub  15992  4sqlem1  16821  psgnunilem2  19278  sylow1lem1  19381  nn0subm  20855  expmhm  20869  psrbagaddcl  21333  psrbagaddclOLD  21334  dvnadd  25296  ply1divex  25504  coemullem  25614  coemulhi  25618  plymul0or  25644  chtublem  26562  2sqlem7  26775  crctcshwlkn0lem4  28761  clwwlkccatlem  28936  fac2xp3  40615  factwoffsmonot  40618  mhphflem  40773  fmtnofac2lem  45767  nn0mnd  46120  ply1mulgsumlem1  46474
  Copyright terms: Public domain W3C validator