Theorem nn0addcl 12125

Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11835	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 22	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 12091	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnaddcl 11853	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0addcl 12123	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 690	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   + caddc 10732  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-nn 11831  df-n0 12091

This theorem is referenced by:  nn0addcli  12127  peano2nn0  12130  nn0addcld  12154  nn0readdcl  12156  xnn0xaddcl  12825  difelfznle  13226  elfzodifsumelfzo  13308  modsumfzodifsn  13517  expadd  13677  faclbnd4lem3  13861  faclbnd5  13864  faclbnd6  13865  facavg  13867  ccatlen  14130  ccatlenOLD  14131  ccatrn  14146  ccatalpha  14150  swrdccat2  14234  swrdswrdlem  14269  swrdswrd  14270  swrdccatin1  14290  pfxccatin12lem3  14297  splfv2a  14321  repswswrd  14349  repswccat  14351  cshwcsh2id  14393  fsumnn0cl  15300  bcxmas  15399  nn0risefaccl  15584  eftlub  15670  4sqlem1  16501  psgnunilem2  18887  sylow1lem1  18987  nn0subm  20418  expmhm  20432  psrbagaddcl  20887  psrbagaddclOLD  20888  dvnadd  24826  ply1divex  25034  coemullem  25144  coemulhi  25148  plymul0or  25174  chtublem  26092  2sqlem7  26305  crctcshwlkn0lem4  27897  clwwlkccatlem  28072  fac2xp3  39882  factwoffsmonot  39885  mhphflem  39994  fmtnofac2lem  44693  nn0mnd  45046  ply1mulgsumlem1  45400