Theorem infunabs 10265

Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infunabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2		reldom 8963	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5707	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		undjudom 10227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7		infdjuabs 10264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
8		domentr 9024	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
10		unexg 7749	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
11	1, 4, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
12		ssun1 4124	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
13		ssdomg 9011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
14	11, 12, 13	mpisyl 22	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
15		sbth 9100	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
16	9, 14, 15	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ωcom 7866   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955   ⊔ cdju 9960  cardccrd 9997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001

This theorem is used by:  infunsdom1  10271  infxp  10273