Theorem infunabs 10208

Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infunabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2		reldom 8958	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5722	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		undjudom 10170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7		infdjuabs 10207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
8		domentr 9019	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
10		unexg 7754	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
11	1, 4, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
12		ssun1 4134	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
13		ssdomg 9006	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
14	11, 12, 13	mpisyl 22	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
15		sbth 9095	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
16	9, 14, 15	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ωcom 7871   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ⊔ cdju 9903  cardccrd 9940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944

This theorem is used by:  infunsdom1  10214  infxp  10216