MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infunabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infunabs 9364
Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infunabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infunabs
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2 reldom 8247 . . . . . 6 Rel ≼
32brrelex1i 5406 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
433ad2ant3 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 uncdadom 9328 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
61, 4, 5syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
7 infcdaabs 9363 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
8 domentr 8300 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
96, 7, 8syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
10 unexg 7236 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
111, 4, 10syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ V)
12 ssun1 3999 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
13 ssdomg 8287 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
1411, 12, 13mpisyl 21 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
15 sbth 8368 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
169, 14, 15syl2anc 579 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071  wcel 2107  Vcvv 3398  cun 3790  wss 3792   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  (class class class)co 6922  ωcom 7343  cen 8238  cdom 8239  cardccrd 9094   +𝑐 ccda 9324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325
This theorem is referenced by:  infunsdom1  9370  infxp  9372
  Copyright terms: Public domain W3C validator