Theorem infunabs 10177

Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infunabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2		reldom 8937	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5708	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		undjudom 10139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))
7		infdjuabs 10176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴)
8		domentr 8998	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
9	6, 7, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
10		unexg 7730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
11	1, 4, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
12		ssun1 4133	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
13		ssdomg 8985	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
14	11, 12, 13	mpisyl 22	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
15		sbth 9073	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
16	9, 14, 15	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ωcom 7850   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ⊔ cdju 9872  cardccrd 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913

This theorem is referenced by:  infunsdom1  10183  infxp  10185