Theorem infunabs 9364

Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunabs	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infunabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
2		reldom 8247	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5406	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
4	3	3ad2ant3 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5		uncdadom 9328	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6	1, 4, 5	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
7		infcdaabs 9363	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
8		domentr 8300	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
9	6, 7, 8	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴)
10		unexg 7236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
11	1, 4, 10	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
12		ssun1 3999	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
13		ssdomg 8287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
14	11, 12, 13	mpisyl 21	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
15		sbth 8368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)
16	9, 14, 15	syl2anc 579	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  (class class class)co 6922  ωcom 7343   ≈ cen 8238   ≼ cdom 8239  cardccrd 9094   +_𝑐 ccda 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325

This theorem is referenced by:  infunsdom1  9370  infxp  9372