Theorem xdiv0 31403

Description: Division into zero is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdiv0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 /𝑒 𝐴) = 0)

Proof of Theorem xdiv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11070	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		rexdiv 31400	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 /𝑒 𝐴) = (0 / 𝐴))
3	1, 2	mp3an1 1447	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 /𝑒 𝐴) = (0 / 𝐴))
4		recn 11054	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		div0 11756	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 / 𝐴) = 0)
6	4, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 / 𝐴) = 0)
7	3, 6	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 /𝑒 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  (class class class)co 7329  ℂcc 10962  ℝcr 10963  0cc0 10964   / cdiv 11725   /_𝑒 cxdiv 31391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-xneg 12941  df-xmul 12943  df-xdiv 31392

This theorem is referenced by:  xdiv0rp  31404