Theorem xrinfmss2 13468

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmss 13467	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5867	. . . . . 6 ⊢ (𝑥◡ < 𝑦 ↔ 𝑦 < 𝑥)
5	4	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
6	5	ralbii 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
7	3, 2	brcnv 5867	. . . . . 6 ⊢ (𝑦◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑦)
8		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
9	3, 8	brcnv 5867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
10	9	rexbii 3113	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
11	7, 10	imbi12i 353	. . . . 5 ⊢ ((𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
12	11	ralbii 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
13	6, 12	anbi12i 640	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
14	13	rexbii 3113	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
15	1, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  xrsclat  33642