Theorem xrinfmss2 13422

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmss 13421	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝑥◡ < 𝑦 ↔ 𝑦 < 𝑥)
5	4	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
6	5	ralbii 3109	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
7	3, 2	brcnv 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝑦◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑦)
8		vex 3455	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
9	3, 8	brcnv 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
10	9	rexbii 3110	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
11	7, 10	imbi12i 353	. . . . 5 ⊢ ((𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
12	11	ralbii 3109	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
13	6, 12	anbi12i 640	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
14	13	rexbii 3110	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
15	1, 14	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  xrsclat  33554