Theorem muc0 6142

Description: Cardinal multiplication by zero. Theorem XI.2.32 of [Rosser] p. 379. (Contributed by SF, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
muc0	⊢ (A ∈ NC → (A ·c 0c) = 0c)

Proof of Theorem muc0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elncs 6119	. 2 ⊢ (A ∈ NC ↔ ∃x A = Nc x)
2		oveq1 5530	. . . 4 ⊢ (A = Nc x → (A ·c 0c) = ( Nc x ·c 0c))
3		xp0 5044	. . . . . 6 ⊢ (x × ∅) = ∅
4	3	nceqi 6109	. . . . 5 ⊢ Nc (x × ∅) = Nc ∅
5		df0c2 6137	. . . . . . 7 ⊢ 0c = Nc ∅
6	5	oveq2i 5534	. . . . . 6 ⊢ ( Nc x ·c 0c) = ( Nc x ·c Nc ∅)
7		vex 2862	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
8		0ex 4110	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
9	7, 8	mucnc 6131	. . . . . 6 ⊢ ( Nc x ·c Nc ∅) = Nc (x × ∅)
10	6, 9	eqtri 2373	. . . . 5 ⊢ ( Nc x ·c 0c) = Nc (x × ∅)
11	4, 10, 5	3eqtr4i 2383	. . . 4 ⊢ ( Nc x ·c 0c) = 0c
12	2, 11	syl6eq 2401	. . 3 ⊢ (A = Nc x → (A ·c 0c) = 0c)
13	12	exlimiv 1634	. 2 ⊢ (∃x A = Nc x → (A ·c 0c) = 0c)
14	1, 13	sylbi 187	1 ⊢ (A ∈ NC → (A ·c 0c) = 0c)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∅c0 3550  0_cc0c 4374   × cxp 4770  (class class class)co 5525   NC cncs 6088   Nc cnc 6091   ·_c cmuc 6092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-cross 5764  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-muc 6102

This theorem is referenced by:  muc0or  6252