Theorem 2lgslem1c 16431

Description: Lemma 3 for 2lgslem1 16432. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1c	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12912	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 9581	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3		oddnn02np1 12671	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5		iftrue 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7		2nn 9477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nn0ledivnn 10184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
9	7, 8	mpan2 429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
11	6, 10	eqbrtrd 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12	11	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛))
13		iffalse 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
15		nn0re 9583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
16		peano2rem 8600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
17	16	rehalfcld 9563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
19	15	rehalfcld 9563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
20	15	lem1d 9271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
21	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
22		2re 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		2pos 9404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
24	22, 23	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
26		lediv1 9207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
27	21, 15, 25, 26	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
28	20, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
29	18, 19, 15, 28, 9	letrd 8457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
31	14, 30	eqbrtrd 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
32	31	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛))
33		nn0z 9673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
34		zeo3 12659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑛 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑛))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑛 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑛))
36	12, 32, 35	mpjaod 730	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
37	36	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
38	33	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
39		eqcom 2240	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
40	39	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
41		flodddiv4 12727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
42	38, 40, 41	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
43		oveq1 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
44	43	eqcoms 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
45	44	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
46		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
47	46	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
48		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
49	47, 48	nn0mulcld 9634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
50	49	nn0cnd 9631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
51		pncan1 8711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
53	52	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
54	45, 53	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
55	54	oveq1d 6103	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
56		nn0cn 9584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
57		2cnd 9386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
58		2ap0 9406	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
59	58	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
60	56, 57, 59	divcanap3d 9133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
61	60	ad2antlr 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
62	55, 61	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
63	37, 42, 62	3brtr4d 4163	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
64	63	rexlimdva2 2671	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
65	4, 64	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
66	65	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ifcif 3638   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  4c4 9366  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9653  ⌊cfl 10719   ∥ cdvds 12578  ℙcprime 12909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-q 10035  df-rp 10071  df-fl 10721  df-dvds 12579  df-prm 12910

This theorem is used by:  2lgslem1  16432