Theorem gzsumconst 14120

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumconst.b	|- B = ( Base ` G )
gzsumconst.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gzsumconst	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, G   k, M   k, N   k, X

Allowed substitution hint:   .x. ( k)

Proof of Theorem gzsumconst

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		3simpb 1026	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G e. Mnd /\ X e. B ) )
3		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
4	3	mpteq1d 4211	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X ) )
5	4	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( w = M -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) )
6		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
7	6	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( M - M ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
9	5, 8	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
11		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
12	11	mpteq1d 4211	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
13	12	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( w = j -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
14		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( w - M ) = ( j - M ) )
15	14	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
16	15	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
17	13, 16	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = j -> ( ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
19		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
20	19	mpteq1d 4211	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) )
21	20	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) )
22		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
23	22	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
24	23	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
25	21, 24	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
26	25	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
27		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
28	27	mpteq1d 4211	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> X ) = ( k e. ( M ... N ) |-> X ) )
29	28	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( w = N -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( G gzsumgz ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) )
30		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
31	30	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( w - M ) + 1 ) = ( ( N - M ) + 1 ) )
32	31	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )
33	29, 32	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) <-> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... w ) |-> X ) ) = ( ( ( w - M ) + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
35		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> X e. B )
36		gzsumconst.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
37		gzsumconst.m	. . . . . . 7 |- .x. = (.g ` G )
38	36, 37	mulg1 13909	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
39	35, 38	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( 1 .x. X ) = X )
40		zcn 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
41	40	subidd 8615	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M - M ) = 0 )
42	41	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
43		0p1e1 9397	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
44	42, 43	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
45	44	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
46	45	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
47		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> G e. Mnd )
49		uzid 9915	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
51		simpllr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) /\ k e. ( M ... M ) ) -> X e. B )
52	51	fmpttd 5854	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) : ( M ... M ) --> B )
53	36, 47, 48, 50, 52	gzsumval2 13691	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) )
54		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
55	54, 54	fzfigd 10846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) e. Fin )
56	55	mptexd 5935	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V )
57		plusgslid 13443	. . . . . . . . 9 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 13357	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
59	48, 58	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( +g ` G ) e. _V )
60		seq1g 10878	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k e. ( M ... M ) |-> X ) e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) )
62		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( k e. ( M ... M ) |-> X ) = ( k e. ( M ... M ) |-> X )
63		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( k = M -> X = X )
64		elfz3 10417	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ( M ... M ) )
66	62, 63, 65, 35	fvmptd3 5793	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ` M ) = X )
67	53, 61, 66	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = X )
68	39, 46, 67	3eqtr4rd 2282	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ M e. ZZ ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) )
69	68	expcom 116	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> X ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
70		fzssp1 10451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) )
72	71	resmptd 5109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> X ) )
73	72	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gzsumgz ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) )
74		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
75	73, 74	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gzsumgz ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) )
76		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X )
77		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> X = X )
78		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
79		peano2uz 9962	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80		eluzfz2 10415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
81	78, 79, 80	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
82		simpllr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> X e. B )
83	76, 77, 81, 82	fvmptd3 5793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) = X )
84	75, 83	oveq12d 6093	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G gzsumgz ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
85		simplll 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> G e. Mnd )
86		eluzel2 9905	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
87	78, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> M e. ZZ )
88		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> X e. B )
89	88	fmpttd 5854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> B )
91	36, 47, 85, 87, 78, 90	gzsumsplit1r 13692	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( G gzsumgz ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) |` ( M ... j ) ) ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ` ( j + 1 ) ) ) )
92		uznn0sub 9933	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j - M ) e. NN0 )
93		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j - M ) e. NN0 -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
94	78, 92, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( j - M ) + 1 ) e. NN )
95	36, 37, 47	mulgnnp1 13910	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j - M ) + 1 ) e. NN /\ X e. B ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
96	94, 82, 95	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
97	84, 91, 96	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
98		eluzelcn 9912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. CC )
99	86	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. CC )
100	99	negcld 8614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. CC )
101		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. CC )
102	98, 100, 101	add32d 8484	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) + -u M ) )
103	98, 99	negsubd 8633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + -u M ) = ( j - M ) )
104	103	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + -u M ) + 1 ) = ( ( j - M ) + 1 ) )
105	98, 101	addcld 8335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. CC )
106	105, 99	negsubd 8633	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j + 1 ) + -u M ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
107	102, 104, 106	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( j - M ) + 1 ) = ( ( j + 1 ) - M ) )
108	107	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) )
109	108	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
110	78, 109	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( ( ( j - M ) + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
111	97, 110	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) )
112	111	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
113	112	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... j ) |-> X ) ) = ( ( ( j - M ) + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> X ) ) = ( ( ( ( j + 1 ) - M ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
115	10, 18, 26, 34, 69, 114	uzind4 9967	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) ) )
116	1, 2, 115	sylc 62	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ X e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... N ) |-> X ) ) = ( ( ( N - M ) + 1 ) .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |-> cmpt 4187   |` cres 4771   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   -ucneg 8488   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   gzsum_gz cgzsu 13588   Mndcmnd 13706  ._gcmg 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-minusg 13786  df-mulg 13900

This theorem is referenced by:  gzsumconstf  14121