Theorem ply1term 15846

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	|- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ply1term	|- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, N   z, S

Allowed substitution hint:   F( z)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3243	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S ) -> A e. CC )
2		ply1term.1	. . . . 5 |- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )
3	2	ply1termlem 15845	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
4	1, 3	stoic3 1480	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
5		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> S C_ CC )
6		0cnd 8319	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> 0 e. CC )
7	6	snssd 3860	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> { 0 } C_ CC )
8	5, 7	unssd 3405	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
9		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		simpl2 1032	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. S )
11		elun1 3396	. . . . . 6 |- ( A e. S -> A e. ( S u. { 0 } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. ( S u. { 0 } ) )
13		ssun2 3393	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
14		c0ex 8320	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	snss 3850	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
18		elfzelz 10430	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
19		simpl3 1033	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
20	19	nn0zd 9768	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		zdceq 9722	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID k = N )
22	18, 20, 21	syl2an2 602	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> DECID k = N )
23	12, 17, 22	ifcldcd 3678	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k = N , A , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
24	8, 9, 23	elplyd 15844	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
25	4, 24	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
26		plyun0 15839	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
27	25, 26	eleqtrdi 2331	1 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   ifcif 3638   {csn 3709   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ...cfz 10413   ^cexp 10977   sum_csu 12121  Polycply 15831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122  df-ply 15833

This theorem is used by:  plypow  15847  plyconst  15848