Theorem ply1term 15438

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	|- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ply1term	|- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, N   z, S

Allowed substitution hint:   F( z)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3219	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S ) -> A e. CC )
2		ply1term.1	. . . . 5 |- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )
3	2	ply1termlem 15437	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
4	1, 3	stoic3 1473	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
5		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> S C_ CC )
6		0cnd 8155	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> 0 e. CC )
7	6	snssd 3813	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> { 0 } C_ CC )
8	5, 7	unssd 3380	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
9		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		simpl2 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. S )
11		elun1 3371	. . . . . 6 |- ( A e. S -> A e. ( S u. { 0 } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. ( S u. { 0 } ) )
13		ssun2 3368	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
14		c0ex 8156	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	snss 3803	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
18		elfzelz 10238	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
19		simpl3 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
20	19	nn0zd 9583	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		zdceq 9538	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID k = N )
22	18, 20, 21	syl2an2 596	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> DECID k = N )
23	12, 17, 22	ifcldcd 3640	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k = N , A , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
24	8, 9, 23	elplyd 15436	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
25	4, 24	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
26		plyun0 15431	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
27	25, 26	eleqtrdi 2322	1 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   C_ wss 3197   ifcif 3602   {csn 3666   |-> cmpt 4145   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   CCcc 8013   0cc0 8015   x. cmul 8020   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   ...cfz 10221   ^cexp 10777   sum_csu 11885  Polycply 15423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ply 15425

This theorem is referenced by:  plypow  15439  plyconst  15440