Theorem ply1term 14889

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	|- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ply1term	|- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, N   z, S

Allowed substitution hint:   F( z)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3174	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S ) -> A e. CC )
2		ply1term.1	. . . . 5 |- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )
3	2	ply1termlem 14888	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
4	1, 3	stoic3 1442	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
5		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> S C_ CC )
6		0cnd 8012	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> 0 e. CC )
7	6	snssd 3763	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> { 0 } C_ CC )
8	5, 7	unssd 3335	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
9		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		simpl2 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. S )
11		elun1 3326	. . . . . 6 |- ( A e. S -> A e. ( S u. { 0 } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. ( S u. { 0 } ) )
13		ssun2 3323	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
14		c0ex 8013	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	snss 3753	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
18		elfzelz 10091	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
19		simpl3 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
20	19	nn0zd 9437	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		zdceq 9392	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID k = N )
22	18, 20, 21	syl2an2 594	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> DECID k = N )
23	12, 17, 22	ifcldcd 3593	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k = N , A , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
24	8, 9, 23	elplyd 14887	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
25	4, 24	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
26		plyun0 14882	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
27	25, 26	eleqtrdi 2286	1 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   C_ wss 3153   ifcif 3557   {csn 3618   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   x. cmul 7877   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ...cfz 10074   ^cexp 10609   sum_csu 11496  Polycply 14874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ply 14876

This theorem is referenced by:  plypow  14890  plyconst  14891