Theorem ply1term 15425

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	|- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ply1term	|- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, N   z, S

Allowed substitution hint:   F( z)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3219	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S ) -> A e. CC )
2		ply1term.1	. . . . 5 |- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )
3	2	ply1termlem 15424	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
4	1, 3	stoic3 1473	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
5		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> S C_ CC )
6		0cnd 8147	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> 0 e. CC )
7	6	snssd 3813	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> { 0 } C_ CC )
8	5, 7	unssd 3380	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
9		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		simpl2 1025	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. S )
11		elun1 3371	. . . . . 6 |- ( A e. S -> A e. ( S u. { 0 } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. ( S u. { 0 } ) )
13		ssun2 3368	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
14		c0ex 8148	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	snss 3803	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
18		elfzelz 10229	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
19		simpl3 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
20	19	nn0zd 9575	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		zdceq 9530	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID k = N )
22	18, 20, 21	syl2an2 596	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> DECID k = N )
23	12, 17, 22	ifcldcd 3640	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k = N , A , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
24	8, 9, 23	elplyd 15423	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
25	4, 24	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
26		plyun0 15418	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
27	25, 26	eleqtrdi 2322	1 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   C_ wss 3197   ifcif 3602   {csn 3666   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8005   0cc0 8007   x. cmul 8012   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   ...cfz 10212   ^cexp 10768   sum_csu 11872  Polycply 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ply 15412

This theorem is referenced by:  plypow  15426  plyconst  15427