Theorem ply1term 15496

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	|- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ply1term	|- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, N   z, S

Allowed substitution hint:   F( z)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3221	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S ) -> A e. CC )
2		ply1term.1	. . . . 5 |- F = ( z e. CC |-> ( A x. ( z ^ N ) ) )
3	2	ply1termlem 15495	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
4	1, 3	stoic3 1475	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) )
5		simp1 1023	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> S C_ CC )
6		0cnd 8177	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> 0 e. CC )
7	6	snssd 3819	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> { 0 } C_ CC )
8	5, 7	unssd 3382	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
9		simp3 1025	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		simpl2 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. S )
11		elun1 3373	. . . . . 6 |- ( A e. S -> A e. ( S u. { 0 } ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. ( S u. { 0 } ) )
13		ssun2 3370	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( S u. { 0 } )
14		c0ex 8178	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
15	14	snss 3809	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( S u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( S u. { 0 } ) )
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 |- 0 e. ( S u. { 0 } )
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( S u. { 0 } ) )
18		elfzelz 10265	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
19		simpl3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
20	19	nn0zd 9605	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
21		zdceq 9560	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID k = N )
22	18, 20, 21	syl2an2 598	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> DECID k = N )
23	12, 17, 22	ifcldcd 3644	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k = N , A , 0 ) e. ( S u. { 0 } ) )
24	8, 9, 23	elplyd 15494	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( if ( k = N , A , 0 ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
25	4, 24	eqeltrd 2307	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
26		plyun0 15489	. 2 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
27	25, 26	eleqtrdi 2323	1 |- ( ( S C_ CC /\ A e. S /\ N e. NN0 ) -> F e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   u. cun 3197   C_ wss 3199   ifcif 3604   {csn 3670   |-> cmpt 4151   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   CCcc 8035   0cc0 8037   x. cmul 8042   NN0cn0 9407   ZZcz 9484   ...cfz 10248   ^cexp 10806   sum_csu 11936  Polycply 15481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-map 6824  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937  df-ply 15483

This theorem is referenced by:  plypow  15497  plyconst  15498