Theorem ply1term 15657

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1term	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3235	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ply1term.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
3	2	ply1termlem 15656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
4	1, 3	stoic3 1476	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
5		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		0cnd 8272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
7	6	snssd 3841	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
8	5, 7	unssd 3397	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl2 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		elun1 3388	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13		ssun2 3385	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14		c0ex 8273	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	snss 3831	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
18		elfzelz 10365	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
19		simpl3 1029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 9704	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		zdceq 9658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 = 𝑁)
22	18, 20, 21	syl2an2 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑘 = 𝑁)
23	12, 17, 22	ifcldcd 3662	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
24	8, 9, 23	elplyd 15655	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
25	4, 24	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
26		plyun0 15650	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
27	25, 26	eleqtrdi 2327	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211   ⊆ wss 3213  ifcif 3622  {csn 3691   ↦ cmpt 4173  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132   · cmul 8137  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582  ...cfz 10348  ↑cexp 10907  Σcsu 12046  Polycply 15642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ply 15644

This theorem is referenced by:  plypow  15658  plyconst  15659