Theorem ply1term 15981

Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1term	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑁   𝑧,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem ply1term

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3243	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ply1term.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
3	2	ply1termlem 15980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
4	1, 3	stoic3 1480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))
5		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		0cnd 8326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℂ)
7	6	snssd 3860	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {0} ⊆ ℂ)
8	5, 7	unssd 3405	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
9		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpl2 1032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		elun1 3396	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
13		ssun2 3393	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
14		c0ex 8327	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
15	14	snss 3850	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
16	13, 15	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
18		elfzelz 10446	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
19		simpl3 1033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 9778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		zdceq 9732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 = 𝑁)
22	18, 20, 21	syl2an2 602	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → DECID 𝑘 = 𝑁)
23	12, 17, 22	ifcldcd 3678	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
24	8, 9, 23	elplyd 15979	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
25	4, 24	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
26		plyun0 15974	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
27	25, 26	eleqtrdi 2331	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ifcif 3638  {csn 3709   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186   · cmul 8191  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ...cfz 10429  ↑cexp 10997  Σcsu 12145  Polycply 15966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ply 15968

This theorem is used by:  plypow  15982  plyconst  15983