Theorem sincos3rdpi 14741

Description: The sine and cosine of pi / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	|- ( ( sin ` ( pi / 3 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( 1 / 2 ) )

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 14685	. . . . . . 7 |- pi e. CC
2		2cn 9021	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
3		2ap0 9043	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
4	2, 3	recclapi 8730	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
5		3cn 9025	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
6		3ap0 9046	. . . . . . . 8 |- 3 # 0
7	5, 6	recclapi 8730	. . . . . . 7 |- ( 1 / 3 ) e. CC
8	1, 4, 7	subdii 8395	. . . . . 6 |- ( pi x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( pi x. ( 1 / 2 ) ) - ( pi x. ( 1 / 3 ) ) )
9		halfthird 9557	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )
10	9	oveq2i 5908	. . . . . 6 |- ( pi x. ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( pi x. ( 1 / 6 ) )
11	8, 10	eqtr3i 2212	. . . . 5 |- ( ( pi x. ( 1 / 2 ) ) - ( pi x. ( 1 / 3 ) ) ) = ( pi x. ( 1 / 6 ) )
12	1, 2, 3	divrecapi 8745	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) = ( pi x. ( 1 / 2 ) )
13	1, 5, 6	divrecapi 8745	. . . . . 6 |- ( pi / 3 ) = ( pi x. ( 1 / 3 ) )
14	12, 13	oveq12i 5909	. . . . 5 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) = ( ( pi x. ( 1 / 2 ) ) - ( pi x. ( 1 / 3 ) ) )
15		6cn 9032	. . . . . 6 |- 6 e. CC
16		6nn 9115	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
17	16	nnap0i 8981	. . . . . 6 |- 6 # 0
18	1, 15, 17	divrecapi 8745	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) = ( pi x. ( 1 / 6 ) )
19	11, 14, 18	3eqtr4i 2220	. . . 4 |- ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) = ( pi / 6 )
20	19	fveq2i 5537	. . 3 |- ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 6 ) )
21	1, 5, 6	divclapi 8742	. . . 4 |- ( pi / 3 ) e. CC
22		coshalfpim 14721	. . . 4 |- ( ( pi / 3 ) e. CC -> ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) ) = ( sin ` ( pi / 3 ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( cos ` ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) ) = ( sin ` ( pi / 3 ) )
24		sincos6thpi 14740	. . . 4 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
25	24	simpri 113	. . 3 |- ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 )
26	20, 23, 25	3eqtr3i 2218	. 2 |- ( sin ` ( pi / 3 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 )
27	19	fveq2i 5537	. . 3 |- ( sin ` ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) ) = ( sin ` ( pi / 6 ) )
28		sinhalfpim 14719	. . . 4 |- ( ( pi / 3 ) e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 3 ) ) )
29	21, 28	ax-mp 5	. . 3 |- ( sin ` ( ( pi / 2 ) - ( pi / 3 ) ) ) = ( cos ` ( pi / 3 ) )
30	24	simpli 111	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
31	27, 29, 30	3eqtr3i 2218	. 2 |- ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( 1 / 2 )
32	26, 31	pm3.2i 272	1 |- ( ( sin ` ( pi / 3 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( 1 / 2 ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   1c1 7843   x. cmul 7847   - cmin 8159   / cdiv 8660   2c2 9001   3c3 9002   6c6 9005   sqrcsqrt 11040   sincsin 11687   cosccos 11688   picpi 11690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962  ax-pre-suploc 7963  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-of 6107  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-map 6677  df-pm 6678  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-ioo 9924  df-ioc 9925  df-ico 9926  df-icc 9927  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693  df-cos 11694  df-pi 11696  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-met 13875  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-ntr 14073  df-cn 14165  df-cnp 14166  df-tx 14230  df-cncf 14535  df-limced 14602  df-dvap 14603

This theorem is referenced by: (None)