Theorem sincos3rdpi 15837

Description: The sine and cosine of π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 15781	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 9328	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ap0 9350	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
4	2, 3	recclapi 9036	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		3cn 9332	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ap0 9353	. . . . . . . 8 ⊢ 3 # 0
7	5, 6	recclapi 9036	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
8	1, 4, 7	subdii 8698	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
9		halfthird 9872	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
10	9	oveq2i 6069	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
11	8, 10	eqtr3i 2257	. . . . 5 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
12	1, 2, 3	divrecapi 9051	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
13	1, 5, 6	divrecapi 9051	. . . . . 6 ⊢ (π / 3) = (π · (1 / 3))
14	12, 13	oveq12i 6070	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
15		6cn 9339	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		6nn 9423	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	16	nnap0i 9288	. . . . . 6 ⊢ 6 # 0
18	1, 15, 17	divrecapi 9051	. . . . 5 ⊢ (π / 6) = (π · (1 / 6))
19	11, 14, 18	3eqtr4i 2265	. . . 4 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = (π / 6)
20	19	fveq2i 5678	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 6))
21	1, 5, 6	divclapi 9048	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
22		coshalfpim 15817	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3))
24		sincos6thpi 15836	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
25	24	simpri 113	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
26	20, 23, 25	3eqtr3i 2263	. 2 ⊢ (sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2)
27	19	fveq2i 5678	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 6))
28		sinhalfpim 15815	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3)))
29	21, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3))
30	24	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
31	27, 29, 30	3eqtr3i 2263	. 2 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
32	26, 31	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   · cmul 8148   − cmin 8461   / cdiv 8966  2c2 9308  3c3 9309  6c6 9312  √csqrt 11709  sincsin 12358  cosccos 12359  πcpi 12361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-xneg 10127  df-xadd 10128  df-ioo 10247  df-ioc 10248  df-ico 10249  df-icc 10250  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-fac 11116  df-bc 11138  df-ihash 11167  df-shft 11528  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067  df-ef 12362  df-sin 12364  df-cos 12365  df-pi 12367  df-rest 13541  df-topgen 13560  df-psmet 14820  df-xmet 14821  df-met 14822  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-top 14992  df-topon 15005  df-bases 15037  df-ntr 15090  df-cn 15182  df-cnp 15183  df-tx 15247  df-cncf 15565  df-limced 15650  df-dvap 15651

This theorem is referenced by: (None)