Theorem sincos3rdpi 15525

Description: The sine and cosine of π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 15469	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 9189	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ap0 9211	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
4	2, 3	recclapi 8897	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		3cn 9193	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ap0 9214	. . . . . . . 8 ⊢ 3 # 0
7	5, 6	recclapi 8897	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
8	1, 4, 7	subdii 8561	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
9		halfthird 9728	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
10	9	oveq2i 6018	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
11	8, 10	eqtr3i 2252	. . . . 5 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
12	1, 2, 3	divrecapi 8912	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
13	1, 5, 6	divrecapi 8912	. . . . . 6 ⊢ (π / 3) = (π · (1 / 3))
14	12, 13	oveq12i 6019	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
15		6cn 9200	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		6nn 9284	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	16	nnap0i 9149	. . . . . 6 ⊢ 6 # 0
18	1, 15, 17	divrecapi 8912	. . . . 5 ⊢ (π / 6) = (π · (1 / 6))
19	11, 14, 18	3eqtr4i 2260	. . . 4 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = (π / 6)
20	19	fveq2i 5632	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 6))
21	1, 5, 6	divclapi 8909	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
22		coshalfpim 15505	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3))
24		sincos6thpi 15524	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
25	24	simpri 113	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
26	20, 23, 25	3eqtr3i 2258	. 2 ⊢ (sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2)
27	19	fveq2i 5632	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 6))
28		sinhalfpim 15503	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3)))
29	21, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3))
30	24	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
31	27, 29, 30	3eqtr3i 2258	. 2 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
32	26, 31	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  1c1 8008   · cmul 8012   − cmin 8325   / cdiv 8827  2c2 9169  3c3 9170  6c6 9173  √csqrt 11515  sincsin 12163  cosccos 12164  πcpi 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127  ax-pre-suploc 8128  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-ioo 10096  df-ioc 10097  df-ico 10098  df-icc 10099  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-fac 10956  df-bc 10978  df-ihash 11006  df-shft 11334  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ef 12167  df-sin 12169  df-cos 12170  df-pi 12172  df-rest 13282  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-top 14680  df-topon 14693  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-cn 14870  df-cnp 14871  df-tx 14935  df-cncf 15253  df-limced 15338  df-dvap 15339

This theorem is referenced by: (None)