Theorem sincos3rdpi 16082

Description: The sine and cosine of π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 16026	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 9385	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ap0 9407	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
4	2, 3	recclapi 9081	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		3cn 9389	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ap0 9410	. . . . . . . 8 ⊢ 3 # 0
7	5, 6	recclapi 9081	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
8	1, 4, 7	subdii 8742	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
9		halfthird 9936	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
10	9	oveq2i 6099	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
11	8, 10	eqtr3i 2261	. . . . 5 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
12	1, 2, 3	divrecapi 9096	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
13	1, 5, 6	divrecapi 9096	. . . . . 6 ⊢ (π / 3) = (π · (1 / 3))
14	12, 13	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
15		6cn 9396	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		6nn 9482	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	16	nnap0i 9345	. . . . . 6 ⊢ 6 # 0
18	1, 15, 17	divrecapi 9096	. . . . 5 ⊢ (π / 6) = (π · (1 / 6))
19	11, 14, 18	3eqtr4i 2269	. . . 4 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = (π / 6)
20	19	fveq2i 5701	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 6))
21	1, 5, 6	divclapi 9093	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
22		coshalfpim 16062	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3))
24		sincos6thpi 16081	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
25	24	simpri 113	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
26	20, 23, 25	3eqtr3i 2267	. 2 ⊢ (sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2)
27	19	fveq2i 5701	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 6))
28		sinhalfpim 16060	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3)))
29	21, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3))
30	24	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
31	27, 29, 30	3eqtr3i 2267	. 2 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
32	26, 31	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  1c1 8187   · cmul 8191   − cmin 8505   / cdiv 9011  2c2 9365  3c3 9366  6c6 9369  √csqrt 11785  sincsin 12437  cosccos 12438  πcpi 12440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ioc 10313  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-sin 12443  df-cos 12444  df-pi 12446  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895

This theorem is used by: (None)