Theorem sincos3rdpi 15947

Description: The sine and cosine of π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sincos3rdpi	⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

Proof of Theorem sincos3rdpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 15891	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 9376	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ap0 9398	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
4	2, 3	recclapi 9073	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
5		3cn 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ap0 9401	. . . . . . . 8 ⊢ 3 # 0
7	5, 6	recclapi 9073	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
8	1, 4, 7	subdii 8734	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
9		halfthird 9921	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
10	9	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ (π · ((1 / 2) − (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
11	8, 10	eqtr3i 2261	. . . . 5 ⊢ ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3))) = (π · (1 / 6))
12	1, 2, 3	divrecapi 9088	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) = (π · (1 / 2))
13	1, 5, 6	divrecapi 9088	. . . . . 6 ⊢ (π / 3) = (π · (1 / 3))
14	12, 13	oveq12i 6097	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = ((π · (1 / 2)) − (π · (1 / 3)))
15		6cn 9387	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		6nn 9472	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
17	16	nnap0i 9336	. . . . . 6 ⊢ 6 # 0
18	1, 15, 17	divrecapi 9088	. . . . 5 ⊢ (π / 6) = (π · (1 / 6))
19	11, 14, 18	3eqtr4i 2269	. . . 4 ⊢ ((π / 2) − (π / 3)) = (π / 6)
20	19	fveq2i 5698	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 6))
21	1, 5, 6	divclapi 9085	. . . 4 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
22		coshalfpim 15927	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (cos‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 3))
24		sincos6thpi 15946	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
25	24	simpri 113	. . 3 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
26	20, 23, 25	3eqtr3i 2267	. 2 ⊢ (sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2)
27	19	fveq2i 5698	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (sin‘(π / 6))
28		sinhalfpim 15925	. . . 4 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3)))
29	21, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘((π / 2) − (π / 3))) = (cos‘(π / 3))
30	24	simpli 111	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
31	27, 29, 30	3eqtr3i 2267	. 2 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
32	26, 31	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   · cmul 8184   − cmin 8497   / cdiv 9003  2c2 9356  3c3 9357  6c6 9360  √csqrt 11764  sincsin 12413  cosccos 12414  πcpi 12416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-xneg 10176  df-xadd 10177  df-ioo 10296  df-ioc 10297  df-ico 10298  df-icc 10299  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-fac 11166  df-bc 11188  df-ihash 11217  df-shft 11582  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122  df-ef 12417  df-sin 12419  df-cos 12420  df-pi 12422  df-rest 13597  df-topgen 13616  df-psmet 14882  df-xmet 14883  df-met 14884  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-top 15101  df-topon 15114  df-bases 15146  df-ntr 15199  df-cn 15291  df-cnp 15292  df-tx 15356  df-cncf 15674  df-limced 15759  df-dvap 15760

This theorem is used by: (None)