Theorem aspsubrg 15001

Description: The algebraic span of a set of vectors is a subring of the algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspsubrg	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑊))

Proof of Theorem aspsubrg

Dummy variables 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aspval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2		aspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4	1, 2, 3	aspval 14998	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
5		ssrab2 3333	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))
6		inss1 3451	. . . 4 ⊢ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ⊆ (SubRing‘𝑊)
7	5, 6	sstri 3257	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑊)
8		sseq2 3272	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑆 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑉))
9		assaring 14990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
10	2	subrgid 14514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ (SubRing‘𝑊))
13		assalmod 14989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
14	2, 3	lss1 14682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	12, 16	elind 3414	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)))
18		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
19	8, 17, 18	elrabd 2984	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
20		elex2 2838	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
21	19, 20	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
22		subrgintm 14534	. . 3 ⊢ (({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑊) ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡}) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑊))
23	7, 21, 22	sylancr 418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑊))
24	4, 23	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∩ cint 3968  ‘cfv 5375  Basecbs 13335  Ringcrg 14283  SubRingcsubrg 14508  LModclmod 14606  LSubSpclss 14672  AssAlgcasa 14979  AlgSpancasp 14980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-subg 13956  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-assa 14982  df-asp 14983

This theorem is referenced by: (None)