![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > divmuldivapd | GIF version |
Description: Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
divcld.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
divcld.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
divmuld.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
divmuldivapd.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
divmuldivapd.5 | โข (๐ โ ๐ต # 0) |
divmuldivapd.6 | โข (๐ โ ๐ท # 0) |
Ref | Expression |
---|---|
divmuldivapd | โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divcld.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | divmuld.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
3 | divcld.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | divmuldivapd.5 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต # 0) | |
5 | 3, 4 | jca 306 | . 2 โข (๐ โ (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) |
6 | divmuldivapd.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
7 | divmuldivapd.6 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท # 0) | |
8 | 6, 7 | jca 306 | . 2 โข (๐ โ (๐ท โ โ โง ๐ท # 0)) |
9 | divmuldivap 8689 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โง ((๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) | |
10 | 1, 2, 5, 8, 9 | syl22anc 1250 | 1 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / (๐ต ยท ๐ท))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1364 โ wcel 2160 class class class wbr 4018 (class class class)co 5892 โcc 7829 0cc0 7831 ยท cmul 7836 # cap 8558 / cdiv 8649 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7922 ax-resscn 7923 ax-1cn 7924 ax-1re 7925 ax-icn 7926 ax-addcl 7927 ax-addrcl 7928 ax-mulcl 7929 ax-mulrcl 7930 ax-addcom 7931 ax-mulcom 7932 ax-addass 7933 ax-mulass 7934 ax-distr 7935 ax-i2m1 7936 ax-0lt1 7937 ax-1rid 7938 ax-0id 7939 ax-rnegex 7940 ax-precex 7941 ax-cnre 7942 ax-pre-ltirr 7943 ax-pre-ltwlin 7944 ax-pre-lttrn 7945 ax-pre-apti 7946 ax-pre-ltadd 7947 ax-pre-mulgt0 7948 ax-pre-mulext 7949 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-iota 5193 df-fun 5234 df-fv 5240 df-riota 5848 df-ov 5895 df-oprab 5896 df-mpo 5897 df-pnf 8014 df-mnf 8015 df-xr 8016 df-ltxr 8017 df-le 8018 df-sub 8150 df-neg 8151 df-reap 8552 df-ap 8559 df-div 8650 |
This theorem is referenced by: faclbnd2 10742 bcm1k 10760 bcp1n 10761 resqrexlemcalc2 11044 prodfrecap 11574 fprodrec 11657 efcllemp 11686 efaddlem 11702 tanaddaplem 11766 pythagtriplem16 12299 pcpremul 12313 pcqmul 12323 mul4sqlem 12411 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |