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Theorem rpmulgcd2 12657

Description: If 𝑀 is relatively prime to 𝑁, then the GCD of 𝐾 with 𝑀 · 𝑁 is the product of the GCDs with 𝑀 and 𝑁 respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
rpmulgcd2	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem rpmulgcd2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1024	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpl2 1025	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpl3 1026	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 9598	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 12529	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
6	1, 2	gcdcld 12529	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
7	1, 3	gcdcld 12529	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
8	6, 7	nn0mulcld 9450	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀)
9		mulgcddvds 12656	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
10	9	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
11		gcddvds 12524	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
13	12	simpld 112	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾)
14		gcddvds 12524	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
15	1, 3, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
16	15	simpld 112	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
17	6	nn0zd 9590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
18	7	nn0zd 9590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
19		gcddvds 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
20	17, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
21	20	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
22	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
23	17, 18	gcdcld 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀)
24	23	nn0zd 9590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
25		dvdstr 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
26	24, 17, 2, 25	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
27	21, 22, 26	mp2and 433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
28	20	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁))
29	15	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
30		dvdstr 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁))
31	24, 18, 3, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁))
32	28, 29, 31	mp2and 433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁)
33		dvdsgcd 12573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
34	24, 2, 3, 33	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
35	27, 32, 34	mp2and 433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
36		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
37	35, 36	breqtrd 4112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1)
38		dvds1 12404	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀ → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
39	23, 38	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
40	37, 39	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1)
41		coprmdvds2 12655	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
42	17, 18, 1, 40, 41	syl31anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
43	13, 16, 42	mp2and 433	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
44		dvdscmul 12369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
45	18, 3, 17, 44	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
46		dvdsmulc 12370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
47	17, 2, 3, 46	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
48	17, 18	zmulcld 9598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
49	17, 3	zmulcld 9598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
50		dvdstr 12379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
51	48, 49, 4, 50	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
52	45, 47, 51	syl2and 295	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
53	29, 22, 52	mp2and 433	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
54		dvdsgcd 12573	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
55	48, 1, 4, 54	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
56	43, 53, 55	mp2and 433	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
57		dvdseq 12399	. 2 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
58	5, 8, 10, 56, 57	syl22anc 1272	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 class class class wbr 4086 (class class class)co 6013 1c1 8023 · cmul 8027 ℕ₀cn0 9392 ℤcz 9469 ∥ cdvds 12338 gcd cgcd 12514

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-sup 7174 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-dvds 12339 df-gcd 12515

This theorem is referenced by: mpodvdsmulf1o 15704

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